HDU2639 01背包第K优决策

初学背包。以下内容，来源网络，整理以作学习资料。

求第K优解

对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么，对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

用个形象的比喻吧：如果我想知道学年最高分，那么，我只要知道每个班级的最高分，然后统计一遍就可以了。如果我想知道学年前十呢？我必须要知道每个班的前十名。大家在心里模拟一下，对，这就是本题核心的算法。两种决策，就可以看作这个学年只有两个班。

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,vol,k;
int dp[1005][35],value[105],cost[105],A[35],B[35];
void kth_ZeroOnePack()
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
int i,j,kk,a,b,c;
for(i=1;i<=n;++i)
{
for(j=vol;j>=cost[i];--j)
{
for(kk=1;kk<=k;++kk)
{
A[kk]=dp[j-cost[i]][kk]+value[i];
B[kk]=dp[j][kk];
}
A[kk]=B[kk]=-1;
a=b=c=1;
while(c<=k && (A[a]!=-1 || B[b]!=-1))
{
if(A[a]>B[b])
dp[j][c]=A[a],++a;
else
dp[j][c]=B[b],++b;
if(dp[j][c]!=dp[j][c-1])
++c;
}
}
}
cout<<dp[vol][k]<<endl;
}
int main()
{
int tCase;
cin>>tCase;
while(tCase--)
{
cin>>n>>vol>>k;
for(int i=1;i<=n;++i)
cin>>value[i];
for(int j=1;j<=n;++j)
cin>>cost[j];
kth_ZeroOnePack();
}
return 0;
}

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