离散型随机变量和连续型随机变量及其常见分布

离散型随机变量及其分布率

若随机变量XXX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...x1,x2,...,xn,...，则称XXX为离散型随机变量

要掌握一个离散型随机变量XXX的统计规律，必须知道XXX的所有可能取的值以及每一个可能值的概率

定义：设离散型随机变量XXX所有可能的取值为xi(i=1,2,...)x_i(i=1,2,...)xi(i=1,2,...)，XXX取各个可能值的概率，即事件{X=xi}\{X=x_i\}{X=xi}的概率为P{X=xi}=pi，i=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i，i=1,2,...P{X=xi}=pi，i=1,2,...则称该式子为离散型随机变量XXX的分布律。分布律也常用表格形式表示：

X	x1x_1x1	x2x_2x2	.........	xix_ixi	.........
pip_ipi	p1p_1p1	p2p_2p2	.........	pip_ipi	.........

由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，因此，由离散型随机变量的分布律可以推出分布函数，反之亦然。

设F(x)F(x)F(x)是离散型随机变量XXX的分布函数，则XXX的分布律P{X=xi}=pi≥0，i=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i \geq 0，i=1,2,...P{X=xi}=pi≥0，i=1,2,...易得F(x)=P{X≤x}=∑xi≤xP{X=xi}=∑xi≤xpiF(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_i \leq x}P\{X=x_i\}=\sum_{x_i \leq x}p_iF(x)=P{X≤x}=xi≤x∑P{X=xi}=xi≤x∑pi

常见的离散型随机变量的概率分布

1、两点分布 B(1,p)B(1, p)B(1,p)

若随机变量的XXX只能取x1x_1x1与x2x_2x2，且它的分布律为P{X=x1}=p，(0<p<1)P\{X=x_1\}=p，(0 < p < 1)P{X=x1}=p，(0<p<1)P{X=x2}=1−pP\{X=x_2\}=1-pP{X=x2}=1−p即P{X=xi}=(1−p)1−xipxi，i=1,2P\{X=x_i\}=(1-p)^{1-x_i}p^{x_i}，i=1,2P{X=xi}=(1−p)1−xipxi，i=1,2则称XXX服从参数为ppp的两点分布

特别地，当x1=1，x2=0x_1=1，x_2=0x1=1，x2=0时两点分布也叫(0−1)(0-1)(0−1)分布，记为X∼(0,1)X \thicksim (0,1)X∼(0,1)分布或X∼B(1,p)X \thicksim B(1,p)X∼B(1,p)

2、二项分布 B(n,p)B(n, p)B(n,p)

若随机变量的XXX分布律为P{X=k}=Cnk(1−p)n−kpk，k=0,1,2,...nP\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k，k=0,1,2,...nP{X=k}=Cnk(1−p)n−kpk，k=0,1,2,...n则称XXX服从参数为n，p(0<p<1)n，p(0 < p < 1)n，p(0<p<1)的二项分布，记为B(n,p)B(n,p)B(n,p)

这与nnn重伯努利试验中事件AAA发生kkk次的概率计算公式一致Pn(k)=P{X=k}=Cnk(1−p)n−kpk，k=0,1,2,...nP_n(k)=P\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k，k=0,1,2,...nPn(k)=P{X=k}=Cnk(1−p)n−kpk，k=0,1,2,...n可知，若X∼B(n,p)X \thicksim B(n, p)X∼B(n,p)，X=kX=kX=k就可以用来表示nnn重伯努利试验中事件AAA恰好发生kkk次

二项分布的近似计算

①泊松近似：
泊松近似即泊松定理
当X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)，当nnn很大(n⩾40n\geqslant 40n⩾40)且ppp很小(p⩽0.1p\leqslant 0.1p⩽0.1)时，可以用泊松分布来近似拟合二项分布，有X∼P(k,np)X\sim P(k,np)X∼P(k,np)：Cnkpk(1−p)n−k≈λkk!e−λC_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}Cnkpk(1−p)n−k≈k!λke−λ其中λ=np\lambda=npλ=np

②标准正太近似：
当X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)，当nnn充分大时，可以用标准正太分布来近似拟合二项分布，有X∼N(np,np(1−p))X\sim N(np,np(1-p))X∼N(np,np(1−p))：P(a<X<b)≈Φ(b−npnp(1−p))−Φ(a−npnp(1−p))P(a < X < b)\approx \Phi(\frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}})P(a<X<b)≈Φ(np(1−p)b−np)−Φ(np(1−p)a−np)

拓展：
多项式展开定理：(a+b)n=∑k=0nCnkakbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k}(a+b)n=k=0∑nCnkakbn−k

幂级数展开定理：ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}ex=n=0∑∞n!xn

3、泊松分布 P(k,λ)P(k,\lambda)P(k,λ)

泊松定理：设λ>0\lambda > 0λ>0是一常数，nnn是正整数。若npn=λnp_n=\lambdanpn=λ，则对任一固定的非负整数kkk有：lim⁡n→∞Cnk(1−pn)n−kpn=λkk!e−λ\lim_{n \to \infty}C_n^k(1-p_n)^{n-k}p_n=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}n→∞limCnk(1−pn)n−kpn=k!λke−λ

若随机变量XXX的分布律为P{X=k}=λkk!e−λP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}P{X=k}=k!λke−λ则称XXX服从参数为λ\lambdaλ的泊松分布，记为X∼P(λ)X \thicksim P(\lambda)X∼P(λ)或X∼P(k;λ)X \thicksim P(k;\lambda)X∼P(k;λ)

泊松分布的概率值为：P(k;λ)=P{X=k}=λkk!e−λ，k=0,1,2,...P(k;\lambda) = P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，k=0,1,2,...P(k;λ)=P{X=k}=k!λke−λ，k=0,1,2,...

连续型随机变量及其概率密度函数

定义：设XXX是随机变量，F(X)F(X)F(X)是它的分布函数，若存在一个非负可积函数f(x)f(x)f(x)，使得对任意的x∈Rx \in Rx∈R，有：F(x)=P{X}F(x)=P\{X \}F(x)=P{X}则称XXX为连续型随机变量，其中f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数，简称概率密度或密度函数

概率密度函数的性质

非负性：f(x)≥0,x∈Rf(x) \geq 0,x \in Rf(x)≥0,x∈R
规范性：∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1∫−∞+∞f(x)dx=1
p{a<X≤b}=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx,(a≤b)p\{a < X \leq b\} = F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx,(a \leq b)p{a<X≤b}=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx,(a≤b)
若f(x)f(x)f(x)在xxx处是连续的，则分布函数的导数等于概率密度函数，即：F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)
若XXX是连续型随机变量，对∀a∈R\forall a \in R∀a∈R，有P{X=a}=0P\{X=a\}=0P{X=a}=0，即对于连续型随机变量，取得某一点的概率为0(注意这里的概率为0不代表不可能事件)

常见的连续型随机变量的概率分布

1、均匀分布 U[a,b]U[a,b]U[a,b]

若随机变量XXX的概率密度函数为f(x)={1b−a,a⩽x⩽b0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b\\ 0, & otherwise \end{cases}f(x)={b−a1,0,a⩽x⩽botherwise则称XXX在区间[a,b][a,b][a,b]上服从均匀分布，记为X∼U[a,b]X\sim U[a,b]X∼U[a,b]

易知f(x)⩾0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0，并且∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1∫−∞+∞f(x)dx=1

均匀分布中XXX的分布函数为F(x)={0,x<ax−ab−a,a⩽x<b1,x⩾bF(x) = \begin{cases} 0, & x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & x \geqslant b \end{cases}F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,b−ax−a,1,x<aa⩽x<bx⩾b

2、指数分布 E(λ)E(\lambda)E(λ)

若随机变量XXX的概率密度函数为f(x)={λe−λx,x>00,x⩽0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}f(x)={λe−λx,0,x>0x⩽0其中λ>0\lambda > 0λ>0为常数

则称随机变量XXX服从参数为λ\lambdaλ(失效率)的指数分布，记为X∼E(λ)X \sim E(\lambda)X∼E(λ)

显然f(x)⩾0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0，且：∫−∞+∞f(x)dx=∫0+∞λe−λxdx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1∫−∞+∞f(x)dx=∫0+∞λe−λxdx=1指数分布中XXX的分布函数为：F(x)={1−e−λx,x>00,x⩽0F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}F(x)={1−e−λx,0,x>0x⩽0

3、正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)

若随机变量XXX的概率密度函数为f(x)=12πσe−(x−μ2)2σ2,−∞<x<+∞f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\inftyf(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ2),−∞<x<+∞其中μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma > 0)μ,σ(σ>0)为常数，则称XXX服从参数为μ,σ\mu,\sigmaμ,σ的正态分布或高斯分布，记为X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)

显然 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0，且∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞+∞12πσe−(x−μ2)2σ2dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}}dx = 1∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ2)dx=1

标准正态分布 N∼(0,1)N\sim (0,1)N∼(0,1):
若X∼N(μ,σ2),则X\sim N(\mu,\sigma^2),则X∼N(μ,σ2),则Y=X−μσ2∼N(0,1)Y=\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}} \sim N(0, 1)Y=σ2X−μ∼N(0,1)标准正态分布的分布函数：Φ(x)=P(X⩽x)=12π∫−∞xe−u22du\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^2}{2}}duΦ(x)=P(X⩽x)=2π1∫−∞xe−2u2du标准正态分布的概率密度函数：ϕ(x)=12πe−x22\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}ϕ(x)=2π1e−2x2标准正态分布的具体值可以通过查表得知：标准正态分布表