数字滤波器概念及设计

数字滤波器分类
滤波器相关函数
常见滤波器
- 平均滤波器
- 平滑滤波器
- 限幅滤波器
- 中值滤波器

数字滤波器(digital filter)是一个离散时间系统，通常按照预定的算法，将输入的离散时间信号或数字信号转化为所要求的离散时间或数值信号，相对于模拟滤波器而言，数字滤波器具有精度高、可靠性高、灵活性好、可程序控制调试的优点。

数字滤波器分类

滤波器可以分为经典滤波器和现代滤波器两类
经典滤波器：
经典滤波器（classical filter),其原理是假定期望信号和噪声各占不同频段，滤波后去除噪声频段的信号，保留期望频段的信号。

按频率分类：
(1)低通滤波器：low-pass filter
(2)高通滤波器：high-pass filter
(3)带通滤波器：band-pass filter
(4)带阻滤波器：band-stop filter
(5)全通滤波器：all-pass filter
按单位冲击响应特性分类：
(1)无限冲击响应滤波器:infinite impulse respance
(2)有限冲击响应滤波器：finite impulse respance
其中有限冲击响应滤波器可以参考FIR数字滤波器,该文介绍了有限冲击响应滤波器的设计方法，和代码实现。
现代滤波器：
现代滤波器又称为统计最优滤波器(statistical optimal filter),与经典滤波器不同，统计最优滤波器是依据某些统计最优规则，从带噪声的测试信号中对由用信号或信号参数进行估计。
（1）维纳滤波器：Wiener filter
（2）卡尔曼滤波器：Kalman filter
（3）自适应滤波器：adaptive filter
现代滤波器中，卡尔曼滤波器比较常见，其公式推导和实现方法可以参考卡尔曼滤波原理介绍及算法实现,该文介绍了详细的推导公式和代码实现。

滤波器相关函数

当ak全为0时，滤波器称为有限冲击响应滤波器，当不全为0时，称为无限冲击响应滤波器。对有限冲击响应滤波器，可通过下式求取滤波后的数据

由（1.4)可知，对于经典数字滤波器中有限脉冲响应滤波器，我们设计的核心就是获得其期望频率响应的的单位脉冲函数，当单位脉冲响应函数设计好后，滤波器代码将非常简单。有限脉冲响应滤波器参考FIR数字滤波器。

常见滤波器

平均滤波器

平均滤波器是FIR数字滤波器最简单的应用，其单位脉冲响应如下，简单说，就是将前N个值求平均值代替当前值。
其单位脉冲响应函数为

该滤波器的系统函数为

对应时域的差分方程为

平滑滤波器

平滑滤波器是一种简单的低通滤波器，也称为Savitzky-Golay平滑滤波器，其基本思想是构造一个p阶多项式来拟合输入信号x(n)中的一组数据x(i)(i=-m,…,0,…,M)。p阶多项式如下

由定义拟合误差并相对个系数求一阶偏导，可以求得多项式的系数。

限幅滤波器

限幅滤波就是将超过阀值得数据点剔除，直接用上一时刻的数据替代

中值滤波器

中值滤波的基本思想是构建一个奇数个相邻样本的滑动窗，窗内样本按样本值大小排列，并使其在信号序列上滑动。用滑动窗中对应样本数值大小的中间值来替代滑动窗中间位置的样本值，其作用是可以消除脉冲性噪声的影响。

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