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一、常数项级数的概念、性质与收敛原理
二、正项级数的审敛准则
三、变号级数的审敛准则

一、常数项级数的概念、性质与收敛原理

定义通常将已给数列 { a n } \{a_n\} {an}的各项依次用加号连接起来的表达式 a 1 + a 2 + ⋯ + a n + ⋯ a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots a1+a2+⋯+an+⋯，或 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an称为常数项无穷级数，简称为常数项级数或级数， a n a_n an称为该级数的通项。其前 n n n项之和 S n = ∑ k = 1 n a k S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k Sn=k=1∑nak称为它的部分和。若部分和数列 { S n } \{S_n\} {Sn}收敛，则称级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛，并称 S = lim ⁡ n → ∞ S n = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n a k S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k S=n→∞limSn=n→∞limk=1∑nak为它的和，记作 ∑ n = 1 ∞ a n = S \sum\limits_{n=1}^\infty a_n=S n=1∑∞an=S；否则，称级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。级数的收敛和发散统称为敛散性。收敛级数的和与其部分和之差 R n = S − S n = ∑ k = n + 1 ∞ a k R_n=S-S_n=\sum\limits_{k=n+1}^\infty a_k Rn=S−Sn=k=n+1∑∞ak称为该级数的余项。

等比级数 ∑ n = 0 ∞ a q n = a + a q + a q 2 + ⋯ + a q n − 1 + ⋯ ( a ≠ 0 ) \sum\limits_{n=0}^\infty aq^n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots\quad(a\ne0) n=0∑∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn−1+⋯(a=0)在 ∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣q∣<1时收敛于 a 1 − q \frac{a}{1-q} 1−qa，在 ∣ q ∣ ≥ 1 |q|\ge1 ∣q∣≥1时发散。注意 S n = a + a q + a q 2 + ⋯ + a q n − 1 = { a ( 1 − a n ) 1 − q , q ≠ 1 n a , q = 1 S_n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}=\begin{cases}\frac{a(1-a^n)}{1-q},\quad&q\ne1\\na,&q=1\end{cases} Sn=a+aq+aq2+⋯+aqn−1={1−qa(1−an),na,q=1q=1。

⭐️ 级数的基本性质

性质1 设 ∑ n = 1 ∞ a n = S a \sum\limits_{n=1}^\infty a_n=S_a n=1∑∞an=Sa， ∑ n = 1 ∞ b n = S b \sum\limits_{n=1}^\infty b_n=S_b n=1∑∞bn=Sb，其中 S a , S b S_a,S_b Sa,Sb均为有限实数，则
(1) ∑ n = 1 ∞ ( a n ± b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n ± ∑ n = 1 ∞ b n = S a ± S b \sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\pm b_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\pm\sum\limits_{n=1}^\infty b_n=S_a\pm S_b n=1∑∞(an±bn)=n=1∑∞an±n=1∑∞bn=Sa±Sb；
(2) ∑ n = 1 ∞ C a n = C ∑ n = 1 ∞ a n = C S a \sum\limits_{n=1}^\infty Ca_n=C\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=CS_a n=1∑∞Can=Cn=1∑∞an=CSa，其中 C ∈ R C\in\mathbb R C∈R为常数；
(3) 若 a n ≤ b n a_n\le b_n an≤bn，则 ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\le \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞an≤n=1∑∞bn。

证明： 令 S n a = ∑ k = 1 n a k S_{n_a}=\sum\limits_{k=1}^n a_k Sna=k=1∑nak， S n b = ∑ k = 1 n b k S_{n_b}=\sum\limits_{k=1}^n b_k Snb=k=1∑nbk。
(1) 有限项之和满足加法交换律，故 ∑ k = 1 n ( a k ± b k ) = ∑ k = 1 n a k ± ∑ k = 1 n b k \sum\limits_{k=1}^n (a_k\pm b_k)=\sum\limits_{k=1}^n a_k\pm\sum\limits_{k=1}^n b_k k=1∑n(ak±bk)=k=1∑nak±k=1∑nbk， lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n ( a k ± b k ) = lim ⁡ n → ∞ ( ∑ k = 1 n a k ± ∑ k = 1 n b k ) = lim ⁡ n → ∞ S n a ± lim ⁡ n → ∞ S n b = S a ± S b \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n (a_k\pm b_k)=\lim\limits_{n\to\infty}(\sum\limits_{k=1}^n a_k\pm\sum\limits_{k=1}^n b_k)=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n_a}\pm\lim\limits_{n\to\infty}S_{n_b}=S_a\pm S_b n→∞limk=1∑n(ak±bk)=n→∞lim(k=1∑nak±k=1∑nbk)=n→∞limSna±n→∞limSnb=Sa±Sb。
(2) ∑ k = 1 n C a k = C ∑ k = 1 n a k \sum\limits_{k=1}^nCa_k=C\sum\limits_{k=1}^na_k k=1∑nCak=Ck=1∑nak，故 lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n C a k = lim ⁡ n → ∞ C S n a = C lim ⁡ n → ∞ S n a = C S a \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^nCa_k=\lim\limits_{n\to\infty}CS_{n_a}=C\lim\limits_{n\to\infty}S_{n_a}=CS_a n→∞limk=1∑nCak=n→∞limCSna=Cn→∞limSna=CSa。
(3) 若 a n ≤ b n a_n\le b_n an≤bn，则 S n a ≤ S n b S_{n_a}\le S_{n_b} Sna≤Snb。根据数列极限的保序性， lim ⁡ n → ∞ S n a ≤ lim ⁡ n → ∞ S n b \lim\limits_{n\to\infty}S_{n_a}\le\lim\limits_{n\to\infty}S_{n_b} n→∞limSna≤n→∞limSnb，即 S a ≤ S b S_a\le S_b Sa≤Sb。

性质2 在一个级数中，任意删去、添加或改变有限项不改变该级数的敛散性。

证明：设原级数为 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an，更改之后级数为 ∑ n = 1 ∞ a n ′ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n' n=1∑∞an′，且级数从第 p p p项以后没有被更改，更改之后原第 p p p项位置变成第 q q q项，即 ∀ k ∈ N \forall k\in\mathbb N ∀k∈N， a p + k = a q + k ′ a_{p+k}=a_{q+k}' ap+k=aq+k′。则 lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n a k ′ = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = p n a k ′ + ∑ k = 1 p − 1 a k ′ = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = p n a k + ∑ k = 1 p − 1 a k ′ = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n a k − ∑ k = 1 p − 1 a k + ∑ k = 1 p − 1 a k ′ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k'=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=p}^na_k'+\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k'=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=p}^na_k+\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k'=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k-\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k+\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k' n→∞limk=1∑nak′=n→∞limk=p∑nak′+k=1∑p−1ak′=n→∞limk=p∑nak+k=1∑p−1ak′=n→∞limk=1∑nak−k=1∑p−1ak+k=1∑p−1ak′，其中 − ∑ k = 1 p − 1 a k + ∑ k = 1 p − 1 a k ′ -\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k+\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k' −k=1∑p−1ak+k=1∑p−1ak′为常数，故两个极限同时存在或不存在，即更改前后的两个级数同散敛。

推论若 K ∈ N + K\in\mathbb N^+ K∈N+，则 ∑ n = K ∞ a n \sum\limits_{n=K}^\infty a_n n=K∑∞an与 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an同敛散。

性质3 设级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛，则
(1) lim ⁡ n → ∞ a n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 n→∞liman=0； (2) lim ⁡ n → ∞ R n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}R_n=0 n→∞limRn=0。

证明：
(1) lim ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ S n − S n − 1 = lim ⁡ n → ∞ S n − lim ⁡ n → ∞ S n − 1 = 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}S_n-S_{n-1}=\lim\limits_{n\to\infty}S_n-\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}=0 n→∞liman=n→∞limSn−Sn−1=n→∞limSn−n→∞limSn−1=0。
(2) lim ⁡ n → ∞ R n = lim ⁡ n → ∞ ( S − S n ) = lim ⁡ n → ∞ S − lim ⁡ n → ∞ S n = S − S = 0 \lim\limits_{n\to\infty}R_n=\lim\limits_{n\to\infty}(S-S_n)=\lim\limits_{n\to\infty}S-\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S-S=0 n→∞limRn=n→∞lim(S−Sn)=n→∞limS−n→∞limSn=S−S=0。

性质4 若 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an为收敛级数，则不改变它的各项次序任意加括号后所得到的新级数仍收敛，并且和不变。

证明：在 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an中任意加括号得一新级数 ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n 1 ) + ( a n 1 + 1 + a n 1 + 2 + ⋯ + a n 2 ) + ⋯ + ( a n k − 1 + 1 + a n k − 1 + 2 + ⋯ + a n k ) + ⋯ (a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+a_{n_1+2}+\cdots+a_{n_2})+\cdots+(a_{n_{k-1}+1}+a_{n_{k-1}+2}+\cdots+a_{n_k})+\cdots (a1+a2+⋯+an1)+(an1+1+an1+2+⋯+an2)+⋯+(ank−1+1+ank−1+2+⋯+ank)+⋯记它的部分和数列为 { S ~ k } \{\tilde S_k\} {S~k}，则 { S ~ k } \{\tilde S_k\} {S~k}是原级数部分和数列 { S n } \{S_n\} {Sn}的一个子数列，因此根据数列极限的归并原理知新级数收敛，且 lim ⁡ k → ∞ S ~ k = lim ⁡ k → ∞ S n k = S \lim\limits_{k\to\infty}\tilde S_k=\lim\limits_{k\to\infty}S_{n_k}=S k→∞limS~k=k→∞limSnk=S。

证明的核心思想：考察有限项的和，有限项的和满足交换律、结合律，再与极限的性质结合使用以证明结论。

定理（Cauchy收敛原理） 级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛的充要条件是 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0， ∃ N ∈ N + \exists N\in\mathbb N^+ ∃N∈N+，使得 ∀ p ∈ N + \forall p\in\mathbb N^+ ∀p∈N+，当 n > N n>N n>N时，恒有 ∣ ∑ k = n + 1 n + p a k ∣ < ε \left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k\right|<\varepsilon k=n+1∑n+pak <ε。

二、正项级数的审敛准则

定义若 a n ≥ 0 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) a_n\ge0\ (n=1,2,\cdots) an≥0 (n=1,2,⋯)，则称级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an为正项级数。

⭐️ 充要条件

定理正项级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。

证明：首先，部分和数列 { S n } \{S_n\} {Sn}一定是单调增的。
充分性：若 { S n } \{S_n\} {Sn}有上界，则根据“单调有界数列必有极限”， lim ⁡ n → ∞ S n \lim\limits_{n\to\infty}S_n n→∞limSn存在， ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛。
必要性：若 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛，则 lim ⁡ n → ∞ S n \lim\limits_{n\to\infty}S_n n→∞limSn存在，根据收敛数列的有界性，得知数列 { S n } \{S_n\} {Sn}是有界的。

⭐️ 判别准则

1. 比较准则I（通过项的大小比较）

定理设 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an和 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn是两个正项级数，并且 ∀ n ∈ N + \forall n\in\mathbb N^+ ∀n∈N+， a n ≤ b n a_n\le b_n an≤bn。
(1) 若 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn收敛，则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；
(2) 若 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散，则 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn发散。

证明：由于(2)是(1)的逆否命题，故只需证(1)。
∵ ∀ n ∈ N + \because\forall n\in\mathbb N^+ ∵∀n∈N+， a n ≤ b n a_n\le b_n an≤bn，
∴ \therefore ∴部分和 S n a = ∑ k = 1 n a k ≤ ∑ k = 1 n b = S n b S_{n_a}=\sum\limits_{k=1}^na_k\le\sum\limits_{k=1}^nb=S_{n_b} Sna=k=1∑nak≤k=1∑nb=Snb。
又 ∵ ∑ n = 1 ∞ b n \because\sum\limits_{n=1}^\infty b_n ∵n=1∑∞bn收敛，
∴ { S n b } \therefore\{S_{n_b}\} ∴{Snb}有上界，
∴ { S n a } \therefore\{S_{n_a}\} ∴{Sna}也有上界，
∴ \therefore ∴级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an必收敛。

结合性质1和性质2，我们推出：

推论设 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an和 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn是两个正项级数，则：
(1) 若 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn收敛，且 a n ≤ k b n a_n\le kb_n an≤kbn对于任意 n > N n>N n>N都成立（ n ∈ N + , k ∈ R n\in\mathbb N^+,k\in\mathbb R n∈N+,k∈R），则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；
(2) 若 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散，且 b n ≥ k a n b_n\ge ka_n bn≥kan对于任意 n > N n>N n>N都成立（ n ∈ N + , k ∈ R n\in\mathbb N^+,k\in\mathbb R n∈N+,k∈R），则 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn发散。

2.比较准则II（通过项之比的极限比较）

定理设 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an和 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn是两个正项级数，并且 ∀ n ∈ N + \forall n\in\mathbb N^+ ∀n∈N+， b n > 0 b_n>0 bn>0。令 lim ⁡ n → ∞ a n b n = λ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lambda n→∞limbnan=λ其中 λ \lambda λ为有限实数或正无穷。则
(1) 若 λ > 0 \lambda>0 λ>0，则两个级数同时收敛或同时发散；
(2) 若 λ = 0 \lambda=0 λ=0，且 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn收敛，则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；
(3) 若 λ = + ∞ \lambda=+\infty λ=+∞，且 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn发散，则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。

证明：
(1) 若 lim ⁡ n → ∞ a n b n = λ > 0 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lambda>0 n→∞limbnan=λ>0，则 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0， ∃ N > 0 \exists N>0 ∃N>0，当 n > N n>N n>N时都有 ∣ a n b n − λ ∣ < ε \left|\frac{a_n}{b_n}-\lambda\right|<\varepsilon bnan−λ <ε，即 λ − ε < a n b n < λ + ε \lambda-\varepsilon<\frac{a_n}{b_n}<\lambda+\varepsilon λ−ε<bnan<λ+ε。故 ∀ n > N \forall n>N ∀n>N，都有 ( λ − ε ) b n < a n < ( λ + ε ) b n (\lambda-\varepsilon)b_n<a_n<(\lambda+\varepsilon)b_n (λ−ε)bn<an<(λ+ε)bn。根据比较准则I的推论，若 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn收敛，则由 a n < ( λ + ε ) b n a_n<(\lambda+\varepsilon)b_n an<(λ+ε)bn知 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；若 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn发散，则由 ( λ − ε ) b n < a n (\lambda-\varepsilon)b_n<a_n (λ−ε)bn<an知 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。因此 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an和 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn同敛散。
(2) 若 lim ⁡ n → ∞ a n b n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0 n→∞limbnan=0，则 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0， ∃ N > 0 \exists N>0 ∃N>0，当 n > N n>N n>N时都有 a n b n < ε \frac{a_n}{b_n}<\varepsilon bnan<ε，即 a n < ε b n a_n<\varepsilon b_n an<εbn，类似(1)可知 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn收敛 ⟹ ∑ n = 1 ∞ a n \Longrightarrow\sum\limits_{n=1}^\infty a_n ⟹n=1∑∞an收敛。
(3) 若 lim ⁡ n → ∞ a n b n = + ∞ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty n→∞limbnan=+∞，则 ∀ M > 0 \forall M>0 ∀M>0， ∃ N > 0 \exists N>0 ∃N>0，当 n > N n>N n>N时都有 a n b n > M \frac{a_n}{b_n}>M bnan>M，故 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn发散 ⟹ ∑ n = 1 ∞ a n \Longrightarrow\sum\limits_{n=1}^\infty a_n ⟹n=1∑∞an发散。

3.积分准则

定理设 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an为一正项级数。若存在一个单调减的非负连续函数 f : [ 1 , + ∞ ) → ( 0 , + ∞ ) f:[1,+\infty)\to(0,+\infty) f:[1,+∞)→(0,+∞)，使 f ( n ) = a n f(n)=a_n f(n)=an，则级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an与无穷限的反常积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)\text dx ∫1+∞f(x)dx同时收敛和发散。

证明：由于 f f f是单调减的，故 ∀ k ∈ N + \forall k\in\mathbb N^+ ∀k∈N+， k ≤ x ≤ k + 1 ⟹ f ( k ) ≤ f ( x ) ≤ f ( k + 1 ) k\le x\le k+1\Longrightarrow f(k)\le f(x)\le f(k+1) k≤x≤k+1⟹f(k)≤f(x)≤f(k+1)。根据积分的性质，有 ∫ k k + 1 f ( k + 1 ) d x ≤ ∫ k k + 1 f ( x ) d x ≤ ∫ k k + 1 f ( k + 1 ) d x \int_k^{k+1}f(k+1)\text dx\le\int_k^{k+1}f(x)\text dx\le\int_k^{k+1}f(k+1)\text dx ∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k+1)dx即 a k + 1 ≤ ∫ k k + 1 f ( x ) d x ≤ a k a_{k+1}\le\int_k^{k+1}f(x)\text dx\le a_k ak+1≤∫kk+1f(x)dx≤ak对 k k k求和得 ∑ k = 1 n − 1 a k + 1 ≤ ∑ k = 1 n − 1 ∫ k k + 1 f ( k + 1 ) d x ≤ ∑ k = 1 n − 1 a k \sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{k+1}\le\sum\limits_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}f(k+1)\text dx\le\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_k k=1∑n−1ak+1≤k=1∑n−1∫kk+1f(k+1)dx≤k=1∑n−1ak即 S n − a 1 ≤ ∫ 1 n f ( x ) d x ≤ S n − 1 S_n-a_1\le\int_1^{n}f(x)\text dx\le S_{n-1} Sn−a1≤∫1nf(x)dx≤Sn−1若 ∫ 1 n f ( x ) d x \int_1^{n}f(x)\text dx ∫1nf(x)dx存在，则 S n − a 1 S_n-a_1 Sn−a1有上界，即 S n S_n Sn有上界，那么级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；若 ∫ 1 n f ( x ) d x \int_1^{n}f(x)\text dx ∫1nf(x)dx发散，则 lim ⁡ n → ∞ S n − 1 \lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} n→∞limSn−1不存在，即级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。

p p p级数的敛散性 p p p级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p ( p > 0 ) \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\ (p>0) n=1∑∞np1 (p>0)在 p > 1 p>1 p>1时收敛，在 p ≤ 1 p\le1 p≤1时发散。

证明：令 f ( x ) = 1 x p ( 1 ≤ x < + ∞ ) f(x)=\frac{1}{x^p}\ (1\le x<+\infty) f(x)=xp1 (1≤x<+∞)，显然 f ( n ) = a n = 1 n p f(n)=a_n=\frac{1}{n^p} f(n)=an=np1。由于 p p p积分 ∫ 1 + ∞ 1 x p d x \int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\text dx ∫1+∞xp1dx当 p > 1 p>1 p>1时收敛，当 p ≤ 1 p\le1 p≤1时发散，因此 p p p级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p ( p > 0 ) \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\ (p>0) n=1∑∞np1 (p>0)也在 p > 1 p>1 p>1时收敛，在 p ≤ 1 p\le1 p≤1时发散。

4. D’Alembert检比法

定理设 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an为正项级数， a n > 0 a_n>0 an>0，并且 lim ⁡ n → ∞ a n + 1 a n = λ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda n→∞limanan+1=λ（有限或 + ∞ +\infty +∞）。
(1) 若 λ < 1 \lambda<1 λ<1，则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；
(2) 若 λ > 1 \lambda>1 λ>1（含 λ = + ∞ \lambda=+\infty λ=+∞），则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。

证明：
(1) 令 q ∈ R q\in\mathbb R q∈R且 k < q < 1 k<q<1 k<q<1，根据极限的保号性，必 ∃ N ∈ N + \exists N\in\mathbb N^+ ∃N∈N+，使得当 n > N n>N n>N时，恒有 a n + 1 a n < q \frac{a_{n+1}}{a_n}<q anan+1<q，从而 a n + 1 < a n q < a n − 1 q 2 < ⋯ < a N − 1 q n − N a_{n+1}<a_nq<a_{n-1}q^2<\cdots<a_{N-1}q^{n-N} an+1<anq<an−1q2<⋯<aN−1qn−N那么 ∑ k = 1 n a k = ∑ k = 1 N − 1 a k + ∑ k = N n a k < ∑ k = 1 N − 1 a k + ∑ k = N n a n − 1 q n − N \sum\limits_{k=1}^n a_k=\sum\limits_{k=1}^{N-1} a_k+\sum\limits_{k=N}^n a_k<\sum\limits_{k=1}^{N-1} a_k+\sum\limits_{k=N}^n a_{n-1}q^{n-N} k=1∑nak=k=1∑N−1ak+k=N∑nak<k=1∑N−1ak+k=N∑nan−1qn−N。而等比级数 ∑ k = N n a n − 1 q n − N \sum\limits_{k=N}^n a_{n-1}q^{n-N} k=N∑nan−1qn−N收敛，故级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛。
(2) 令 q ∈ R q\in\mathbb R q∈R且 λ > q > 1 \lambda>q>1 λ>q>1，根据极限的保号性，必 ∃ N ∈ N + \exists N\in\mathbb N^+ ∃N∈N+，使得当 n > N n>N n>N时，恒有 a n + 1 a n > q \frac{a_{n+1}}{a_n}>q anan+1>q，故 lim ⁡ n → ∞ a n ≠ 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n\ne0 n→∞liman=0，那么 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。

5. Cauchy检根法

定理设 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an为正项级数， lim ⁡ n → ∞ a n n = λ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lambda n→∞limnan =λ（有限或 + ∞ +\infty +∞）。
(1) 若 λ < 1 \lambda<1 λ<1，则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛；
(2) 若 λ > 1 \lambda>1 λ>1，则 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。

证明：
(1) 令 p ∈ R p\in\mathbb R p∈R且 λ < p < 1 \lambda<p<1 λ<p<1根据极限的保号性，必 ∃ N ∈ N + \exists N\in\mathbb N^+ ∃N∈N+，使得当 n > N n>N n>N时，恒有 a n n < p \sqrt[n]{a_n}<p nan <p，即 a n < p n a_n<p^n an<pn，则 ∑ k = 1 n a k = ∑ k = 1 N − 1 a k + ∑ k = N n a k < ∑ k = 1 N − 1 a k + ∑ k = N n p n \sum\limits_{k=1}^n a_k=\sum\limits_{k=1}^{N-1} a_k+\sum\limits_{k=N}^n a_k<\sum\limits_{k=1}^{N-1} a_k+\sum\limits_{k=N}^n p^n k=1∑nak=k=1∑N−1ak+k=N∑nak<k=1∑N−1ak+k=N∑npn。而等比级数 ∑ k = N n p n \sum\limits_{k=N}^n p^n k=N∑npn收敛，故级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛。
(2) 若 λ > 1 \lambda>1 λ>1，则 lim ⁡ n → ∞ a n ≠ 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n\ne0 n→∞liman=0，级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an发散。

三、变号级数的审敛准则

定义若技术中有无穷多项为正，无穷多项为负，则称此类级数为变号级数。各项的正负号交替变化的级数称为交错级数。

⭐️ 交错级数的审敛准则

定理（Leibniz准则） 设有交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 a n = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 a n \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^{n-1}a_n n=1∑∞(−1)n−1an=a1−a2+a3−a4+⋯+(−1)n−1an，其中 a n > 0 ( n ∈ N + ) a_n>0\ (n\in\mathbb N^+) an>0 (n∈N+)。若 ∀ n ∈ N + \forall n\in\mathbb N+ ∀n∈N+， a n ≥ a n + 1 a_n\ge a_{n+1} an≥an+1，并且 lim ⁡ n → ∞ a n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 n→∞liman=0，则交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 a n \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}a_n n=1∑∞(−1)n−1an收敛，并且其和 S ≤ a 1 S\le a_1 S≤a1，部分和 S n S_n Sn与 S S S的绝对误差 ∣ S − S n ∣ ≤ a n + 1 ( ∀ n ∈ N + ) |S-S_n|\le a_{n+1}\ (\forall n\in\mathbb N^+) ∣S−Sn∣≤an+1 (∀n∈N+)。

证明：考察部分和数列 { S n } \{S_n\} {Sn}的偶数项子列 { S 2 k } \{S_{2k}\} {S2k}。因为 S 2 k = ( a 1 − a 2 ) + ( a 3 − a 4 ) + ⋯ + ( a 2 k − 1 − a 2 k ) S_{2k}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots+(a_{2k-1}-a_{2k}) S2k=(a1−a2)+(a3−a4)+⋯+(a2k−1−a2k)，由于已知 { a n } \{a_n\} {an}是单调减的，上式中每个括号内的数都是非负的，故 { S 2 k } \{S_{2k}\} {S2k}是单调增的。又 S 2 k = a 1 − ( a 2 − a 3 ) − ( a 4 − a 5 ) − ⋯ − ( a 2 k − 2 − a 2 k − 1 ) − a 2 k S_{2k}=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\cdots-(a_{2k-2}-a_{2k-1})-a_{2k} S2k=a1−(a2−a3)−(a4−a5)−⋯−(a2k−2−a2k−1)−a2k，所以 S 2 k < a 1 S_{2k}<a_1 S2k<a1，即 { S 2 k } \{S_{2k}\} {S2k}有上界，从而得知 { S 2 k } \{S_{2k}\} {S2k}是收敛数列，设 lim ⁡ k → ∞ S 2 k = S \lim\limits_{k\to\infty}S_{2k}=S k→∞limS2k=S。又因为 lim ⁡ k → ∞ S 2 k + 1 = lim ⁡ k → ∞ ( S 2 k + a 2 k + 1 ) = lim ⁡ k → ∞ S 2 k = S \lim\limits_{k\to\infty}S_{2k+1}=\lim\limits_{k\to\infty}(S_{2k}+a_{2k+1})=\lim\limits_{k\to\infty}S_{2k}=S k→∞limS2k+1=k→∞lim(S2k+a2k+1)=k→∞limS2k=S，故 { S n } \{S_n\} {Sn}收敛于 S S S。对 0 < S 2 k ≤ a 1 0<S_{2k}\le a_1 0<S2k≤a1取极限得 0 ≤ S ≤ a 1 0\le S\le a_1 0≤S≤a1。

⭐️ 绝对收敛性

定义若级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an的绝对值级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| n=1∑∞∣an∣收敛，则称级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an绝对收敛；若级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛，但其绝对值级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| n=1∑∞∣an∣发散，则称 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an条件收敛。

定理（绝对收敛准则） 若级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| n=1∑∞∣an∣收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an收敛。即：绝对收敛的级数一定收敛。

证明：因为级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n| n=1∑∞∣an∣收敛，根据Cauchy审敛原理， ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0， ∃ N ∈ N + \exists N\in\mathbb N^+ ∃N∈N+，使得 ∀ p ∈ N + \forall p\in\mathbb N^+ ∀p∈N+，当 n > N n>N n>N时，恒有 ∑ k = n + 1 n + p ∣ a k ∣ < ε \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}|a_k|<\varepsilon k=n+1∑n+p∣ak∣<ε。从而有 ∣ ∑ k = n + 1 n + p a k ∣ ≤ ∑ k = n + 1 n + p ∣ a k ∣ < ε \left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k\right|\le\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}|a_k|<\varepsilon k=n+1∑n+pak ≤k=n+1∑n+p∣ak∣<ε。

⭐️ 绝对收敛级数的性质

1. 重排的收敛性

定理如果级数绝对收敛，那么任意交换它的各项次序所得到的级数 ∑ n = 1 ∞ a ~ n \sum\limits_{n=1}^\infty \tilde a_n n=1∑∞a~n（称它为 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an的一个重排）也绝对收敛，而且它们的和相等。

2. 乘积的收敛性

定理设级数 ∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an与 ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^\infty b_n n=1∑∞bn绝对收敛，它们的和分别为 A A A与 B B B，那么，它们各项相乘得到的所以可能的乘积项 a n b m a_nb_m anbm按任何次序排列所得的级数 ∑ n = 1 ∞ c n \sum\limits_{n=1}^\infty c_n n=1∑∞cn也绝对收敛，并且其和为 A B AB AB。

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【高等数学笔记】常数项级数的敛散性

文章目录

一、常数项级数的概念、性质与收敛原理

二、正项级数的审敛准则

三、变号级数的审敛准则

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