Python欧式距离矩阵算法

根据欧式距离矩阵(Euclidean Distance Matrix, EDM) 的定义，它是一个n×\times×n的矩阵，表示欧式空间中一组n个点的空间距离，每个元素为点之间的距离平方。假设{xi∈Rd:i∈{1,...,n}}\{x_i \in \mathbb{R}^d : i \in \{1,...,n\}\}{xi∈Rd:i∈{1,...,n}}

X=(∣∣∣x1x2...xn∣∣∣)d×nX =\begin{pmatrix} | & | & & |\\ x_1 & x_2 &... & x_n\\ | & | & & |\\ \end{pmatrix}_{d\times n}X=⎝⎛∣x1∣∣x2∣...∣xn∣⎠⎞d×n

距离矩阵，Dij=∣∣xi−xj∣∣22D_{ij} = ||x_i-x_j||^2_2Dij=∣∣xi−xj∣∣22
=(xi−xj)T(xi−xj)=(x_i - x_j)^T(x_i - x_j)=(xi−xj)T(xi−xj)
=xiTxi+xjxjT−2xiTxj=x_i^Tx_i + x_jx_j^T-2x_i^Tx_j=xiTxi+xjxjT−2xiTxj
=(0d122d132…d1n2d2120d232…d2n2d312d3220…d3n2⋮⋮⋮⋱⋮dn12dn22d1n2…0)=\begin{pmatrix} 0 &d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2\\ d_{21}^2&0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2\\ d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0&\dots & d_{3n}^2\\ \vdots&\vdots&\vdots &\ddots & \vdots\\ d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{1n}^2 & \dots& 0\\ \end{pmatrix}=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0d212d312⋮dn12d1220d322⋮dn22d132d2320⋮d1n2………⋱…d1n2d2n2d3n2⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
欧式距离矩阵，edm(X)定义为
edm(X)=defdiag(G)+diag(G)T−2Gedm(X) \overset{\mathrm{def}}{=} diag(G) + diag(G)^T - 2Gedm(X)=defdiag(G)+diag(G)T−2G
其中，格拉姆矩阵(Gram matrix) G=XTXG=X^TXG=XTX, diag(G)diag(G)diag(G)为含有对角线元素的列向量。

在计算两个矩阵Xd×mX_{d\times m}Xd×m和Yd×nY_{d\times n}Yd×n之间的欧式距离矩阵时，可从上式推导出两个矩阵的欧式距离矩阵公式:
GX=XTXG_X = X^TXGX=XTX
GY=YTYG_Y = Y^TYGY=YTY
edm(X)=diag(GX)+diag(GY)T−2XTYedm(X) = diag(G_X) + diag(G_Y)^T - 2X^TYedm(X)=diag(GX)+diag(GY)T−2XTY
=(x11x22⋮xmm)m×1+(y11y22⋮ynn)n×1T−2XTY=\begin{pmatrix} x_{11}\\ x_{22}\\ \vdots\\ x_{mm}\\ \end{pmatrix}_{m\times1} + \begin{pmatrix} y_{11}\\ y_{22}\\ \vdots\\ y_{nn}\\ \end{pmatrix}^T_{n\times1} - 2X^TY=⎝⎜⎜⎜⎛x11x22⋮xmm⎠⎟⎟⎟⎞m×1+⎝⎜⎜⎜⎛y11y22⋮ynn⎠⎟⎟⎟⎞n×1T−2XTY

这里的GXG_XGX和GYG_YGY的对角线元素会经过numpy数组的广播机制(broadcasting)，分别广播成n×nn\times nn×n和m×mm\times mm×m的矩阵，进行相加。EDM矩阵的大小应为m×nm\times nm×n。

例子：
X=(123234012)3×3T;Y=(123432)2×3TX = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&4\\ 0&1&2\\ \end{pmatrix}^T_{3\times 3}; Y = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&3&2\\ \end{pmatrix}^T_{2\times 3}X=⎝⎛120231342⎠⎞3×3T;Y=(142332)2×3T

Python代码:

import numpy as npdef euclidean_dist(x, y=None):"""Compute all pairwise distances between vectors in X and Y matrices.:param x: numpy array, with size of (d, m):param y: numpy array, with size of (d, n):return: EDM:   numpy array, with size of (m,n). Each entry in EDM_{i,j} represents the distance between row i in x and row j in y."""if y is None:y = x# calculate Gram matricesG_x = np.matmul(x.T, x)G_y = np.matmul(y.T, y)# convert diagonal matrix into column vectordiag_Gx = np.reshape(np.diag(G_x), (-1, 1))diag_Gy = np.reshape(np.diag(G_y), (-1, 1))# Compute Euclidean distance matrixEDM = diag_Gx + diag_Gy.T - 2*np.matmul(x.T, y)  # broadcastingprint('This is matrix EDM: ')print(EDM)return EDMx = np.array([[1.0, 2.0, 3.0], [2.0, 3.0, 4.0], [0.0, 1.0, 2.0]]).T
y = np.array([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 3.0, 2.0]]).T
euclidean_dist(x,y)

输出：EDM=(01138320)3×2EDM = \begin{pmatrix} 0&11\\ 3&8\\ 3&20\\ \end{pmatrix}_{3\times 2}EDM=⎝⎛03311820⎠⎞3×2

备注：欧式距离矩阵中的元素为距离的平方，若需要距离，可用np.sqrt(EDM)开方。

参考文献:

https://www.dabblingbadger.com/blog/2020/2/27/implementing-euclidean-distance-matrix-calculations-from-scratch-in-python
Dokmanic, Ivan, et al. “Euclidean distance matrices: essential theory, algorithms, and applications.” IEEE Signal Processing Magazine 32.6 (2015): 12-30.
Albanie, Samuel. “Euclidean Distance Matrix Trick.” Retrieved from Visual Geometry Group, University of Oxford (2019).
https://ccrma.stanford.edu/~dattorro/EDM.pdf

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