直线拟合（最小二乘法）

直线方程：
y=ax+by=ax+b y=ax+b
实验测试获得一组数据，记为：(xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)
现需要根据测试数据，求直线方程参数a, b使得该直线最符合实验数据结果，即等价于问题：
mina,bΣ[yi−(axi+b)]2\underset{a, b}{min} \Sigma[y_i - (ax_i + b)]^2 a,bminΣ[yi−(axi+b)]2
记：
sum=Σ[yi−(axi+b)]2\Sigma[y_i - (ax_i + b)]^2Σ[yi−(axi+b)]2
对a, b求导：
dsumda=Σ{−2xi[yi−(axi+b)]}=0\frac{dsum}{da} = \Sigma\{-2x_i[y_i-(ax_i+b)]\} = 0 dadsum=Σ{−2xi[yi−(axi+b)]}=0
dsumdb=Σ{−2[yi−(axi+b)]}=0\frac{dsum}{db}=\Sigma\{-2[y_i-(ax_i+b)]\} = 0 dbdsum=Σ{−2[yi−(axi+b)]}=0
从而解得：
a=nΣxiyi−ΣxiΣyinΣxi2−(Σxi)2a = \frac{n\Sigma x_iy_i - \Sigma x_i \Sigma y_i}{n\Sigma x_i^2 - (\Sigma x_i)^2} a=nΣxi2−(Σxi)2nΣxiyi−ΣxiΣyi
b=Σyi−aΣxinb = \frac{\Sigma y_i - a\Sigma x_i}{n} b=nΣyi−aΣxi
其中，n为测试得到的数据总数。
当nΣxi2−(Σxi)2=0n\Sigma x_i^2 - (\Sigma x_i)^2=0nΣxi2−(Σxi)2=0时，直线斜率a为无求大，不存在，此时,直线方程为：
x=(Σxi)/nx = (\Sigma x_i) / n x=(Σxi)/n

参考资料中对于a,b系数的结果弄反，故而重新梳理公式。

参考资料：
https://wenku.baidu.com/view/d4ede28a910ef12d2af9e7e1.html

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