关于切比雪夫距离的一些感想

2024-07-02 05:49:52

传送门

求切比雪夫距离和可以转化为求曼哈顿距离和

为什么呢？

切比雪夫距离：

Dis（A,B）=max(|XA−XB|,|YA−YB|)Dis（A,B）=max(|XA−XB|,|YA−YB|)

Dis（A,B）=max(|X_A-X_B|,|Y_A-Y_B|)

曼哈顿距离：

Dis(A,B)=|XA−XB|+|YA−YB|Dis(A,B)=|XA−XB|+|YA−YB|

Dis(A,B)=|X_A-X_B|+|Y_A-Y_B|

转化一：

先介绍一下去max的方法：max(X,Y)=(X+Y+|X−Y|)/2max(X,Y)=(X+Y+|X−Y|)/2max(X,Y)=(X+Y+|X-Y|)/2
相应的，去绝对值的方法：|X−Y|=max(X−Y,Y−X)|X−Y|=max(X−Y,Y−X)|X-Y|=max(X-Y,Y-X)

由此我们可以开始推导公式：
令X′=X+Y,Y′=X−YX′=X+Y,Y′=X−YX'=X+Y , Y'=X-Y

max(|X′A−X′B|,|Y′A−Y′B|)max(|XA′−XB′|,|YA′−YB′|)

max(|X_A'-X_B'|,|Y_A'-Y_B'|)

=max(|(XA+YA)−(XB+YB)|,|(XA−YA)−(XB−YB)|)=max(|(XA+YA)−(XB+YB)|,|(XA−YA)−(XB−YB)|)

=max(|(X_A+Y_A)-(X_B+Y_B)|,|(X_A-Y_A)-(X_B-Y_B)|)

=max((XA+YA)−(XB+YB),(XB+YB)−(XA+YA)),(XA−YA)−(XB−YB),(XB−YB)−(XA−YA))=max((XA+YA)−(XB+YB),(XB+YB)−(XA+YA)),(XA−YA)−(XB−YB),(XB−YB)−(XA−YA))

=max((X_A+Y_A)-(X_B+Y_B),(X_B+Y_B)-(X_A+Y_A)),(X_A-Y_A)-(X_B-Y_B),(X_B-Y_B)-(X_A-Y_A))

=max((XA−XB)+(YA−YB),(XB−XA)+(YB−YA),(XA−XB)+(YB−YA),(XB−XA)+(YA−YB))=max((XA−XB)+(YA−YB),(XB−XA)+(YB−YA),(XA−XB)+(YB−YA),(XB−XA)+(YA−YB))

=max((X_A-X_B)+(Y_A-Y_B),(X_B-X_A)+(Y_B-Y_A),(X_A-X_B)+(Y_B-Y_A),(X_B-X_A)+(Y_A-Y_B))

=|XA−XB|+|YA−YB|=|XA−XB|+|YA−YB|

=|X_A-X_B|+|Y_A-Y_B|

由于X′=X+Y,Y′=X−YX′=X+Y,Y′=X−YX'=X+Y,Y'=X-Y
同理可得X′+Y′=2X,X′−Y′=2YX′+Y′=2X,X′−Y′=2YX'+Y'=2X,X'-Y'=2Y

于是切比雪夫距离可以转化为曼哈顿距离

转化二：

切比雪夫距离为kkk的是一个边长为2k" role="presentation" style="position: relative;">2k2k2k的正方形上的所有点

曼哈顿距离为k的是一个边长为2√2k22k\frac{\sqrt{2}}{2}k的菱形上的点

也就是说，如果把切比雪夫距离意义下的坐标旋转45∘45∘45^{\circ}再缩小到原来的2√222\frac{ \sqrt{2}}{2}，就能得到曼哈顿距离意义下的坐标。

举个简单的例子直观理解——当k=1k=1k=1时……

旋转45∘45∘45^{\circ}可以乘旋转矩阵，结果是一样的。

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