傅立叶变换中的吉布斯现象

每个学习过信号处理基本课程的人都知道吉布斯(Gibbs)现象：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。吉布斯现象如下图所示。

图1 吉布斯现象示意图

实际上，吉布斯现象最先并不是吉布斯发现的。科学家阿伯特·米切尔森(Albert Michelson)是第一个获得诺贝尔奖的美国人，他以米切尔森-莫利(Michelson-Morley)实验测量光速而闻名于世。但很多人不知道的是，他才是第一个发现吉布斯现象的人。

图2 米切尔森

图3 吉布斯

1898年，米切尔森(Albert Michelson)做了一个谐波分析仪。该仪器可以计算任何一个周期信号x(t)的傅里叶级数截断后的近似式，其中N 可以算到 80。米切尔森用了很多函数来测试它的仪器，结果都很好。然而当他测试方波信号时，他得到一个重要的，令他吃惊的结果！他于是根据这一结果而怀疑起他的仪器是否有不完善的地方。他将这一问题写一封信给当时著名的数学物理学家吉布斯 (Josiah Gibbs)，吉布斯检查了这一结果，并于1899年在《自然》杂志上发表了他的看法。若用x(t)表示原始信号，xN(t)表示有限项傅立叶级数合成所得的信号，米切尔森所观察到的有趣的现象是方波的xN(t)在不连续点附近部分呈现起伏，这个起伏的峰值大小似乎不随 N 增大而下降!吉布斯证明：情况确实是这样，而且也应该是这样。随着N 增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对任何有限的 N 值，起伏的峰值大小保持不变，这就是吉布斯现象。这个现象的含义是：一个不连续信号 x(t) 的傅里叶级数的截断近似 xN(t)，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量，而且，若在实际情况下利用这样一个近似式的话，就应该选择足够大的 N ，以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。当然，在极限情况下，近似误差的能量是零，而且一个不连续的信号(如方波)的傅里叶级数表示是收敛的。

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