引子

前几天QQ群里一位好友提出来一个问题: "整型(有正有负)除以2的指数结果四舍五入, 应该如何优化呢", 当时做了答, 发表在这里, 希望对大家有用.

符号约记

下取整函数的定义: $\left\lfloor x \right\rfloor = \max \left{ {z \in \mathbb{Z}:z \leqslant x} \right}$

上取整函数的定义: $\left\lceil x \right\rceil = \min \left{ {z \in \mathbb{Z}:z \geqslant x} \right}$

四舍五入取整函数的定义: $\left[\kern-0.15em\left[ x

\right]\kern-0.15em\right] = \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\left\lfloor {x + 0.5} \right\rfloor }&{x > 0} \

{\left\lceil {x - 0.5} \right\rceil }&{x \leqslant 0}

\end{array}} \right.$

正文

问题: 整型(有正有负)除以2的指数结果四舍五入， 应该如何优化呢?

问题转化为: 将 $\left[\kern-0.15em\left[ {\frac{m}{2^k}} \right]\kern-0.15em\right]$ 转化为向下取整的形式，其中 $m$ 为整数, $k$ 为非负整数.

答: 因为 $\left[\kern-0.15em\left[ {\frac{m}{n}}

\right]\kern-0.15em\right] = \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\left\lfloor {\frac{m}{n} + \frac{1}{2}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{1}{n}\left( {m + \left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } \right)} \right\rfloor }&{mn \geqslant 0} \

{\left\lceil {\frac{m}{n} - \frac{1}{2}} \right\rceil = \left\lceil {\frac{1}{n}\left( {m - \left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } \right)} \right\rceil }&{mn < 0}

\end{array}} \right.$, 其中 $m, n$ 均为整数, $n \neq 0$.

特别地, 设 $n = 2^k$ ( $k$ 为非负整数) 时, 当 $k=0$ 时, $\left[\kern-0.15em\left[ m \right]\kern-0.15em\right] = m$;

当 $k>0$ 时, $\left[\kern-0.15em\left[ {\frac{m}{{{2^k}}}}

\right]\kern-0.15em\right] = \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\left\lfloor {\frac{m}{{{2^k}}} + \frac{1}{2}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{1}{{{2^k}}}\left( {m + \left\lfloor {\frac{{{2^k}}}{2}} \right\rfloor } \right)} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{m + {2^{k - 1}}}}{{{2^k}}}} \right\rfloor }&{m \geqslant 0} \

{\left\lceil {\frac{m}{{{2^k}}} - \frac{1}{2}} \right\rceil = \left\lceil {\frac{1}{{{2^k}}}\left( {m - \left\lfloor {\frac{{{2^k}}}{2}} \right\rfloor } \right)} \right\rceil = \left\lceil {\frac{{m - {2^{k - 1}}}}{{{2^k}}}} \right\rceil }&{m < 0}

\end{array}} \right.$.

又因为 $\left\lceil {\frac{m}{n}} \right\rceil = \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\left\lfloor {\frac{{m + n - 1}}{n}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{m - 1}}{n}} \right\rfloor + 1}&{n > 0} \

{\left\lfloor {\frac{{m + n + 1}}{n}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{m + 1}}{n}} \right\rfloor + 1}&{n < 0}

\end{array}} \right.$,

所以 $\left\lceil {\frac{{m - {2^{k - 1}}}}{{{2^k}}}} \right\rceil = \left\lfloor {\frac{{m - {2^{k - 1}} + {2^k} - 1}}{{{2^k}}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{m + {2^{k - 1}} - 1}}{{{2^k}}}} \right\rfloor$.

综上, $\left[\kern-0.15em\left[ {\frac{m}{{{2^k}}}} \right]\kern-0.15em\right] = \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}

m&{k = 0} \

{\left\lfloor {\frac{{m + {2^{k - 1}}}}{{{2^k}}}} \right\rfloor }&{k > 0,m \geqslant 0} \

{\left\lfloor {\frac{{m + {2^{k - 1}} - 1}}{{{2^k}}}} \right\rfloor }&{k > 0,m < 0}

\end{array}} \right.$.

上式可以很方便地转写为只包含加减和位运算的C/C++代码.

const int INT_BITS = 32;

int div_exp2(int x, unsigned char k)

{

if (k == 0) return x;

int tail = x >> (INT_BITS - 1);

return (x + (1 << (k - 1)) + tail) >> k;

}

测试代码

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