旋转矩阵罗德里格斯公式（Rodriguez formula）的理解证明

2024-06-17 20:41:12

一、罗德里格斯公式的表达式

罗德里格斯公式（Rodriguez formula）是计算机视觉中的一大经典公式，在描述相机位姿的过程中很常用，其形式如下：

二、对罗德里格斯公式的理解

我们假设v⃗\vec{v}v向量绕n⃗\vec{n}n轴转了θ\thetaθ角度，得到了v⃗′\vec{v}'v′向量，R\bf{R}R为旋转矩阵，我们由旋转矩阵的概念可以知道，他们的关系如下：v⃗′=Rv⃗\vec{v}'=\textbf{R} \vec{v}v′=Rv
也就是说旋转前的向量坐标乘以旋转矩阵，等于旋转后的向量坐标。

三、罗德里格斯公式的推导

3.1. 数学模型的建立

以下是这个公式的推导过程（该推导及下图来自于youtube视频），首先我们需要建立以下数学模型，并且定义需要用到的向量。

3.2.若干用到的恒等式

然后我们先写出需要用到的几个恒等式：

公式一和公式二为向量的正交分解，分别将v⃗\vec{v}v和v⃗′\vec{v}'v′分解为平行转轴的方向和垂直转轴的方向，公式三表明了旋转前后的平行分量没有变化，并且可以表示成为原向量经法向量矩阵（nn′\textbf{n}\textbf{n}'nn′）变换后的向量。公式四表明了法向量n\textbf{n}n与垂直分量的叉积和法向量与原始向量的叉积是相同的，公式五显而易见是因为此处n\textbf{n}n为单位法向量。

3.3 核心表达式（对旋转后的垂直分量进行再分解）

然后我们对旋转后的向量v⃗′\vec{v}'v′的垂直分量进行分解，选取n\textbf{n}n为zzz轴,v⃗\vec{v}v的垂直分量为xxx轴，n\textbf{n}n叉积v⃗\vec{v}v的垂直分量为yyy轴，我们可以得到以下表达式：

3.4. 公式的代换推导

然后，我们就可以使用公式1-5进行代换，然后推导如下。

最后，我们可以看到红框中的内容就是罗德里格斯公式了。

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