[uoj389][UNR #3]白鸽【欧拉回路】【射线法】【费用流】

【题目链接】
　　http://uoj.ac/problem/389
【题解】
　　首先存在欧拉回路的条件是所有非孤立点都与一号点连通，并且每个点的度数都是偶数。
　　一个简单的想法，把每条边绕原点旋转在的角度记为这条边的费用（如果是负的就把这条边反向），我们先把所有的费用都加在一起作为初始的答案。那么显然会有一些点的度数不符合条件。考虑费用流，对于一条边 (u,v) ( u , v ) (u,v)我们从 u u u向v" role="presentation" style="position: relative;">vvv连一条费用为 2∗这条边费用 2 ∗ 这条边费用 2*这条边费用的边，表示将这条边反向。对于入度>出度入度 > 出度入度>出度的点，从 S S S向这个点连费用是1，流量为(入度−出度)/2" role="presentation" style="position: relative;">(入度−出度)/2(入度−出度)/2(入度-出度)/2，出度>入度出度 > 入度出度>入度的点向 T T T连边。跑最小费用流即可。
由于边权不一定为整数，费用流会跑的比较慢。由于绕的圈数一定是整数，所以可以用射线法：从原点射出一条射线，如果边从左到右跨过费用为1，反之为-1。在新图上做费用流答案就费用是整数了。
费用流的话，每次spfa求出最短路图，在最短路图上用dinic增广即可。
时间复杂度：O(NM)" role="presentation" style="position: relative;">O(NM)O(NM)O(NM)?，反正跑的挺快的。
【代码】

# include <bits/stdc++.h>
# define    N     100010
# define    ll    long long
# define    inf     0x3f3f3f3f
# define    eps     1e-7
using namespace std;
int read(){int tmp = 0, fh = 1; char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9'){tmp = tmp * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}return tmp * fh;
}
const double pi = acos(-1.0);
struct Node{int data, next, l, re;double vote;
}e[N];
struct Edge{int u, v;
}eg[N];
struct Point{double x, y;
}p[N];
int n, m, deg[N], use[N], place, head[N], q[N], frm[N], now[N], step[N];
int dis[N], ans;
void buildedge(int u, int v, int w){e[++place].data = v; e[place].next = head[u]; head[u] = place; e[place].l = w;
}
void build(int u, int v, int l, double w){e[++place].data = v; e[place].next = head[u]; head[u] = place; e[place].l = l; e[place].vote = w; e[place].re = place + 1;e[++place].data = u; e[place].next = head[v]; head[v] = place; e[place].l = 0; e[place].vote = -w; e[place].re = place - 1;
}
double cross(Point x, Point y){ return x.x * y.y - x.y * y.x; }
double dot(Point x, Point y){ return x.x * y.x + x.y * y.y; }
void dfs(int x){for (int ed = head[x]; ed != 0; ed = e[ed].next)if (use[e[ed].l] == false){use[e[ed].l] = true;if (step[e[ed].data] == false){step[e[ed].data] = true;dfs(e[ed].data);}}
}
double sqr(double x){return x * x;
}
inline bool spfa(int S, int T){for(int i = S; i <= T; i++) dis[i] = inf, use[i] = 0;dis[T] = 0; use[T] = 1;deque <int> q; q.push_back(T);while(!q.empty()){int now=q.front();q.pop_front();for(int k=head[now];k != 0;k = e[k].next) if(e[e[k].re].l > 0 && dis[e[k].data] > dis[now] - e[k].vote){dis[e[k].data] = dis[now] - e[k].vote;if(!use[e[k].data]){use[e[k].data] = true;if(!q.empty() && dis[e[k].data] < dis[q.front()])q.push_front(e[k].data);else q.push_back(e[k].data);}}use[now]=0;}return dis[S] < inf;
}
void bfs(int S, int T){for(int i = S; i <= T; i++) step[i] = inf;int pl = 1, pr = 1; q[1] = S, step[S] = 0;while (pl <= pr && step[T] == inf){int x = q[pl++];for (int ed = head[x]; ed != 0; ed = e[ed].next)if (e[ed].l > 0 && step[e[ed].data] == inf && dis[x] - e[ed].vote == dis[e[ed].data]){q[++pr] = e[ed].data;step[e[ed].data] = step[x] + 1;}}
}
inline int dfs(int x, int low, int T){if(x == T) return low;int used = 0, a;for(int ed = now[x]; ed != 0; ed = e[ed].next)if(e[ed].l > 0 && dis[x] - e[ed].vote == dis[e[ed].data] && step[x] + 1 == step[e[ed].data]){a = dfs(e[ed].data, min(e[ed].l, low - used), T);if(a) ans -= a * e[ed].vote, e[ed].l -= a, e[e[ed].re].l += a, used += a;if(used == low){now[x] = ed;return used; }}now[x] = 0;return used;
}
int costflow(int S, int T){int flow = 0;while(spfa(S, T)){for (bfs(S, T); step[T] != inf; bfs(S, T)){for (int i = S; i <= T; i++) now[i] = head[i];flow += dfs(S, inf, T);}}return flow;
}
int met(Point x, Point y){if (x.x * y.x >= 0) return 0;double num = (0 - x.x) / (y.x - x.x) * (y.y - x.y) + x.y;return num > 0;
}
int main(){n = read(), m = read();for (int i = 1; i <= n; i++)p[i].x = read(), p[i].y = read();for (int i = 1; i <= m; i++){eg[i].u = read(), eg[i].v = read();buildedge(eg[i].u, eg[i].v, i);buildedge(eg[i].v, eg[i].u, i);deg[eg[i].u]++, deg[eg[i].v]++;}for (int i = 1; i <= n; i++){if (deg[i] % 2 == 1){printf("%d\n", -1);return 0;}}dfs(1);for (int i = 1; i <= m; i++)if (use[i] == false){printf("%d\n", -1);return 0;}memset(head, 0, sizeof(head)); place = 0;memset(deg, 0, sizeof(deg));int S = 0, T = n + 1, num = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){if (cross(p[eg[i].u], p[eg[i].v]) < 0) swap(eg[i].u, eg[i].v);if (met(p[eg[i].u], p[eg[i].v]) == 1) num = 1; else num = 0;ans = ans + num;deg[eg[i].u]--, deg[eg[i].v]++;build(eg[i].u, eg[i].v, 1, num * 2);}for (int i = 1; i <= n; i++)if (deg[i] > 0)build(i, T, deg[i] / 2, 0);else build(S, i, -deg[i] / 2, 0);costflow(S, T);printf("%d\n", ans);
}

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