一道反证法证明极限无穷大题目

<问题2.14>

f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 可微，对 x > 1 满足 f ′ ( x ) = x 2 − f 2 ( x ) x 2 [ 1 + f 2 ( x ) ] , 证： lim ⁡ x → + ∞ [ f ( x ) + x ] = + ∞ f\left( x \right) \text{在}\left( 1,+\infty \right) \text{可微，对}x>1\text{满足}f'\left( x \right) =\frac{x^2-f^2\left( x \right)}{x^2\left[ 1+f^2\left( x \right) \right]},\text{证：}\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\left[ f\left( x \right) +x \right] =+\infty f(x)在(1,+∞)可微，对x>1满足f′(x)=x2[1+f2(x)]x2−f2(x),证：x→+∞lim[f(x)+x]=+∞

考虑到 g ( x ) = f ( x ) + x ， g ′ ( x ) = x 2 − f 2 ( x ) x 2 [ 1 + f 2 ( x ) ] + 1 ⩾ 0 g\left( x \right) =f\left( x \right) +x\text{，}g'\left( x \right) =\frac{x^2-f^2\left( x \right)}{x^2\left[ 1+f^2\left( x \right) \right]}+1\geqslant 0 g(x)=f(x)+x，g′(x)=x2[1+f2(x)]x2−f2(x)+1⩾0

若有 g ( x ) 收敛于某数，则 lim ⁡ x → + ∞ g ′ ( x ) = 0 g\left( x \right) \text{收敛于某数，则}\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}g'\left( x \right) =0 g(x)收敛于某数，则x→+∞limg′(x)=0

又 lim ⁡ x → + ∞ g ′ ( x ) = x 2 − f 2 ( x ) x 2 [ 1 + f 2 ( x ) ] + 1 = lim ⁡ x → + ∞ 1 x 2 [ 1 − ( 1 − g ( x ) x ) 2 ] [ 1 − g ( x ) x ] 2 + 1 + 1 = 1 \underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}g'\left( x \right) =\frac{x^2-f^2\left( x \right)}{x^2\left[ 1+f^2\left( x \right) \right]}+1=\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{\frac{1}{x^2}\left[ 1-\left( 1-\frac{g\left( x \right)}{x} \right) ^2 \right]}{\left[ 1-\frac{g\left( x \right)}{x} \right] ^2+1}+1=1 x→+∞limg′(x)=x2[1+f2(x)]x2−f2(x)+1=x→+∞lim[1−xg(x)]2+1x21[1−(1−xg(x))2]+1=1

推出矛盾 lim ⁡ x → + ∞ [ f ( x ) + x ] = + ∞ \underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\left[ f\left( x \right) +x \right] =+\infty x→+∞lim[f(x)+x]=+∞

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