生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一。另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

数学定义

在概率论中，离散随机变量的概率生成函数是随机变量的概率质量函数（probability mass function，PMF，即离散随机变量的密度函数）的幂级数表示（生成函数）。概率生成函数通常用于对随机变量X的概率质量函数中的概率序列 $Pr(X=i)$ 进行简洁的描述，并提供完善的具有非负系数的幂级数理论。

对于任意数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdot\cdot\cdot,a_{n}$ ，用如下方法与一个函数联系起来：

$G(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}x^{n}\cdot\cdot \cdot$

则称 $G(x)$ 为数列的生成函数（generating function）。

相应的把上述数列替换为离散随机变量分布函数的数列：

$G_{X}(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X=k)z^{k}$

显然 $G_{X}(z)$ 的各项系数非负，且和为1。这个条件可以写成：

$G_{X}(1)=1$

同样，反过来，任何具有非负系数且满足 $G(1)=1$ 的幂级数 $G(z)$

性质

$G(1)=1$

$E(X)=\sum^{+\infty}_{i=0}P(X=i)i=G'(1)$

$E(X_{k})=G^{(k)}_{X}(1)(k\neq 0)$

可以看出上述两式可以大大简化均值与方差的计算。

$V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=G''(1)+G'(1)-G'(1)^{2}$

如果我们已知 $G'_{X}(1)$ 与 $G''_{X}(1)$ 的值，我们就能够求出均值与方差，甚至我们可以不用知道 $G_{X}(z)$ 本身的封闭形式。

$Pr(X+Y=n)\\=\sum_{k}Pr(X=k\cap Y=n-k)\\=\sum_{k}Pr(X=k)Pr(Y=n-k)$

这显然是一个卷积，即：

$G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)G_{Y}(z)$

????

待完成：

概率生成函数 - Henry__Huang - 博客园 (cnblogs.com)

(1条消息) 概率生成函数_一只蒟蒻的博客-CSDN博客

Probability-generating function - Wikipedia

概率生成函数（probability-generating function）相关推荐

概率质量函数(Probability Mass Function)和期望课程笔记
随机变量的数学定义从样本空间到实数值的映射函数. 一个样本空间可以定义多个随机变量一个或几个随机变量的函数构成一个新的随机变量概率质量函数的定义 pX(x)=P(X=x)=P({ω∈Ω s.t. ...
生成函数简介（Generating function）
生成函数(Generating function),又称母函数,是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息.使用母函数解决问题的方法称为母函数方法. 生成函数有许多不同的种类,但大多可 ...
mysql 密度函数,高斯分布（Gaussian Distribution）的概率密度函数（probability density function）...
高斯分布(Gaussian Distribution)的概率密度函数(probability density function) 对应于numpy中: numpy.random.normal(loc= ...
概率质量函数（Probability mass function）
在概率和统计中,概率质量函数(Probability mass function)是给出离散随机变量恰好等于某个值的概率的函数.有时也称为离散密度函数(discrete density functio ...
矩母函数（Moment Generating Function）
矩母函数如果能求出一个随机变量的矩母函数,那么我们就可以通过求导来轻松地找到任意一个矩,而矩可以让我们了解分布的函数图像形状(类似于泰勒级数近似函数图像) 所有的矩并不总是可以唯一确定概率分布复分 ...
P4548-[CTSC2006]歌唱王国【概率生成函数,KMP】
正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548 题目大意 ttt次询问,给出一个长度为mmm的串SSS和一个空串TTT,每次在TTT后面随机加入1∼n1\ ...
概率密度函数pdf(probability densinity function) DOC API
https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.19.1/reference/generated/scipy.stats.rv_continuous.pdf.html
Moment Generating Function
1. 概率统计中的"矩"是什么? 对比物理的力矩,你会发现,概率论中的"矩"真的是很有启发性的一个词. 1.1 力矩大家应该都知道物理中的力矩,我这里也不展开 ...
matlab 概率生成函数求概率,已知某概率密度函数，如何产生一服从该分布的随机数...
谢老师: 我想用您说的这个程序来求解问题.您编写的程序的M文件就是下面的这个crnd函数.我将我自己编的概率密度函数放入后出现了好多问题,不知道该如何解决,不知道您能不能帮忙看一下,非常感谢! fun ...

概率生成函数（probability-generating function）

数学定义

性质

概率生成函数（probability-generating function）相关推荐

最新文章

热门文章