剑指offer中的题目：从1到n整数中1出现的次数

本文是我做这题的思路，整理出来方便自己以后查看，也欢迎大家的讨论。

题目

输入一个正整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12。1一共出现了5次。

思路

1.暴力解法

暴力解法就是从头到尾说每个数中1的个数，然后求和。数每个数中1的个数需要的复杂度为O(logn)，而每个数都需要数一遍，因此总的算法复杂度为O(nlogn)。

2.递归法

递归法就是把数按位对数进行拆分，一步一步缩小数的规模，比如 n=23417 时，可以把问题拆为1–3417和3418–23417，每步先对后一部分进行计算，前一部分可以看成 n=3417 时的求解。这样就可以先分析下 3418–23417 一共有多少个1呢？首先这些数中包含 10000~19999 这一万个第一个数字为1的数。就是先算下和后面一个数位数相同时第一个数字为1的数一共多少个。后面一个数去掉第一个数字后还有4位，这4为每一个位上都能为1，当其中一位为1时，其它3位可以是 0-9 这10个数中的任何一个，因此一共的个数位 4 ∗ 3 10 4*3^{10} 4∗310，又由于第一个数位2，因此3418–23417的1的总个数位 2 ∗ 4 ∗ 3 10 2*4*3^{10} 2∗4∗310，最高位从1到2后面的数重复两遍。我在做这一题的时候，前期有点疑惑的时，在排列组合后面4位数时，这个方法没有考虑重复的情况，假如第一位选了1，第二个数从0-9 10个数都选一遍，然后第二个数选了1时，第一个数又从 0-9 10个数选了一遍，这就出现了两次两个都为1的数，是不是重复计算了？后来仔细想想发现并没有，因为每个位只计算在他的位上出现1的次数，比如刚才说的出现两个数都是1的情况，这时当每个位选1时只算了一次，但其实这个数有两个1，因此后面的再算一次才能把1都统计了，这个问题是统计数字1出现的次数，不是每个数的情况，一个数中存在几个1都要加进去。
代码如下：

def numberof1temp(n):if 0 < n < 10:return 1if n <= 0:return 0sum_1 = 0str_n = str(n)len_n = len(str_n)temp = int(str_n[1:])first_number = int(str_n[0])numberoffirst = numberof1firstnumber(str_n)sum_1 += numberoffirstnumberofleft = first_number * (len_n - 1) * 10**(len_n-2)sum_1 += numberofleftsum_1 += numberof1temp(temp)return sum_1def numberof1firstnumber(str_n):first_number = int(str_n[0])if first_number > 1:number = 10**(len(str_n)-1)else:number = int(str_n[1:]) + 1return number

3.编程之美上的解法

通过分析，可以发现：
1到10，个位数是1的个数是：1
1到100，十位数是1的个数是：10
1到1000，百位数是1的个数是：100
因此可以通过看这些数包含几个10，几个100，几个1000来计算1出现的次数。还以23417为例，从1到23417要包括多少个10？数数时：1， 2，3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，10，然后1，2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 20，再数 1，2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 30。可以看出除了十位数发生了变化，只是相当于个位数重复了一遍。在数数时，大家也经常只数个位数，从1到10数一遍记一下，这样方便好数。十位数同理。 23417 ÷ 10 = 2341 23417\div10=2341 23417÷10=2341 那个位数上出现的1的个数就是 2341 + 1 2341+1 2341+1之所以加1是因为从2341-2347，个位还会再出现一个1。这个思路从数数只数个位数，数完一遍记下数，比较好理解。在写代码时，有一点需要注意的是，循环时数n的值不应该每次变为n//base，而应该改变base为10*base，因为n//base的余数是需要留下来计算的，余数中1出现的次数不能忘了。比如在算十位上1出现的次数时 23417 ÷ 100 = 234 23417\div100=234 23417÷100=234,1出现的次数 234 ∗ 10 234*10 234∗10，余数17十位上1出现的次数也要算进去的， 234 ∗ 10 234*10 234∗10只算了 1-23400 中十位上1出现的次数，还有 23401-23417 中十位上1出现的次数。
代码如下：

def numberof1(n):sum_1 = 0base = 10while n//(base//10):m = n // baseb = n % baseif b >= 2 * base//10:b_sum = base//10elif b >= 1 * base//10:b_sum = b % (base//10) + 1else:b_sum = 0sum_1 += m * base//10 + b_sumbase *= 10return sum_1

总结

在理解算法时，需要记得计算的是所有数中1出现的次数，也就是后面两个算法中分别考虑每个位上1出现的次数。

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从1到n整数中1出现的次数(python 实现)

剑指offer中的题目：从1到n整数中1出现的次数

题目

思路

1.暴力解法

2.递归法

3.编程之美上的解法

总结

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