1.数学背景

导数：dydx=y(xi)−y(xi−1)xi−xx−i\frac{dy}{dx} = \frac{y(x_i) - y(x_{i-1})}{x_i - x_{x-i}}dxdy=xi−xx−iy(xi)−y(xi−1)

差分：ΔYΔX=Yi−Yi−1Xi−Xi−1\frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{Y_i- Y_{i-1}}{X_i - X_{i-1}}ΔXΔY=Xi−Xi−1Yi−Yi−1

然而由于数据特性，大多数情况ΔX\Delta XΔX 远远无法逼近 dxdxdx
由此衍生出各种差分形式，但主要思想万变不离其宗

2.代码

按照惯例，先放图：

蓝色曲线为 y1=sin(x)y_1 = sin(x)y1=sin(x)
黄色曲线为 y2=(sin(x))′=cos(x)y_2 = (sin(x))' = cos(x)y2=(sin(x))′=cos(x)
红色曲线为 y3=(sin(x))′′=−sin(x)y_3 = (sin(x))'' = -sin(x)y3=(sin(x))′′=−sin(x)

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import numpy as np# 一阶中心差分
def diff_1st_mid(series,dx):arr = []for i in range(0,len(series),1):if i ==0:arr.append((series[1] - series[0])/dx)elif i== len(series)-1:arr.append((series[len(series)-1] - series[len(series)-2])/dx)else:arr.append((series[i+1] - series[i-1])/ (2 * dx) )return arr# 二阶中心差分
def diff_2nd_mid(series,dx):arr = []dx2 = dx * dxfor i in range(0,len(series),1):if i ==0:arr.append((series[2] -2*series[1]  + series[0])/dx2)elif i== len(series)-1:arr.append((series[len(series)-1] - 2*series[len(series)-2] +series[len(series)-3])/dx2)else:arr.append((series[i+1] - 2 *series[i] +  series[i-1])/ (dx2) )return arrX=np.linspace(-np.pi,np.pi,1000,endpoint=True)Y = np.sin(X)
Diff1 = np.cos(X)DD1 = diff_1st_mid(Y,np.pi * 2 /(len(X)))
DD2 = diff_2nd_mid(Y,np.pi * 2 /(len(X)))plt.plot(X,Y)plt.plot(X,DD1, color = 'yellow', linewidth=1, linestyle="--")
plt.plot(X,DD2, color = 'red', linewidth=1, linestyle="--")print(DD1)plt.show()

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