通俗理解概率密度函数

2024-06-02 10:00:15

0、前言

概率密度函数是描述连续随机变量的分布的工具，但是因为它是个“密度”，没有概率分布那么直观，下面就用通俗的说法理解概率密度函数。

1、从离续变量出发

1.1 离散随机变量

对于离散随机变量，顾名思义，随机变量的取值是离散的，如：

$X\in \{1,2,3,4,5,6\}$

1.2 离散随机变量的概率分布

指离散随机变量每个取值的概率，即：

1.3 离散随机变量的累积分布函数

定义为：

$F(x)=P(X\leq x)=\sum_{x_k\leq x}p_k$

表示随机变量的取值值小于等于自变量的值的概率的和。

2.连续随机变量的概率分布

2.1 连续随机变量

连续随机变量即随机变量的取值是连续的，如：

$X\in \[1,6\]$

2.2 连续随机变量的概率密度函数与理解

连续随机变量的概率密度函数表示了连续随机变量的概率分布。

一下图片展示了从离散变量的概率分布拟合概率密度函数的图片：

从离散分布看，某个随机变量值的离散分布的函数值，代表随机变量取该值的概率。

但是某一个值的概率密度函数的值并不代表概率等于该值的概率，因为概率密度函数满足：

$\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx=1$ ，而不是 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1$ 。

那如何理解概率密度函数呢？

首先，如果取连续随机变量取值的某一点，那么它的概率是接近0的。最简单但是粗略的，从长度来看，一点相对于区间，就趋近于0。

所以连续随机变量取值的概率，不仅和概率密度函数相关，还和区间长度相关。

所以便有了概率密度函数求和公式。

如上图，概率密度函数曲线在0附近最大，说明什么呢？

那就说明，连续随机变量的值在0附近的概率较大，但是并不能说明连续随机变量等于0的概率是多少。

对于连续随机变量，撇开区间谈概率，都是趋近于0。

2.3 连续随机变量的累计分布函数

公式如下 $F(C)=\int_{-\infty}^{C} xf(x)dx=1$

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