二项式定理的各种证明

二项式定理

(a+b)n=∑k=0nCnkakbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k} (a+b)n=k=0∑nCnkakbn−k
证明：
数学归纳法，当n=1是，(a+b)1=Cnkakbn−k=a+b(a+b)^1=C_{n}^ka^kb^{n-k}=a+b(a+b)1=Cnkakbn−k=a+b成立
假设当n=m是命题成立，n=m+1n=m+1n=m+1时：
(a+b)m+1=(a+b)(a+b)m=(a+b)∑k=0mCmkakbm−k=∑k=0mCmkak+1bm−k+∑k=0mCmkakbm−k+1=∑k=1m+1Cmk−1akbm−k+1+∑k=0mCmkakbm−k+1=∑k=0m+1(Cmk−1+Cmk)akbm−k+1=∑k=0m+1Cm+1kakbm+1−k(a+b)^{m+1}=(a+b)(a+b)^m=(a+b)\sum_{k=0}^mC_m^ka^kb^{m-k}\\ =\sum_{k=0}^mC_m^ka^{k+1}b^{m-k}+\sum_{k=0}^mC_m^ka^kb^{m-k+1}\\ =\sum_{k=1}^{m+1}C_m^{k-1}a^kb^{m-k+1}+\sum_{k=0}^mC_m^ka^kb^{m-k+1}\\ =\sum_{k=0}^{m+1}(C_m^{k-1}+C_m^k)a^kb^{m-k+1}=\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^kb^{m+1-k} (a+b)m+1=(a+b)(a+b)m=(a+b)k=0∑mCmkakbm−k=k=0∑mCmkak+1bm−k+k=0∑mCmkakbm−k+1=k=1∑m+1Cmk−1akbm−k+1+k=0∑mCmkakbm−k+1=k=0∑m+1(Cmk−1+Cmk)akbm−k+1=k=0∑m+1Cm+1kakbm+1−k
证毕。

后来我自己又想出了一种证明方式。
这个式子可以拆成
(a+b)(a+b)…(a+b)
也就是在每一个括号了面都选一个数，乘起来。
(在这里我们先把k看成n，n-k看成m，这样比较清晰）
要求的是anbma^nb^manbm前的系数。
然后利用数形结合，就可以将原来的公式变成这个样子：

我们要求的是从原点到(n,m)的路径条数，组合数就是Cn+mnC_{n+m}^nCn+mn，也就是Cnkakbn−kC_n^ka^kb^{n-k}Cnkakbn−k

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