文章目录

计算几何概念
向量的基本运算
- 向量概念
- 向量加法
- 向量减法
- 向量叉积
如何判断位置关系
- 判断点是否在线段上
- 判断线段和线段是否相交
- 判断直线和线段是否相交
多边形面积
凸包
- 凸包概念
- 凸包算法
- - Andrew算法
  - Graham算法
  - 旋转卡壳
判断点和线段是否在多边形内

计算几何概念

计算几何研究的对象是几何图形，早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形。——百度百科

向量的基本运算

向量概念

在数学中，向量指具有大小和方向的量。
向量可以在坐标系内进行运算。

向量加法

设向量∣OP∣|OP|∣OP∣为(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)，∣OQ∣|OQ|∣OQ∣为(x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2)，则∣OP∣+∣OQ∣=(x1+x2,y1+y2)|OP|+|OQ|=(x_1+x_2,y_1+y_2)∣OP∣+∣OQ∣=(x1+x2,y1+y2)

向量减法

设法同上，则∣OP∣−∣OQ∣=(x1−x2,y1−y2)|OP|-|OQ|=(x_1-x_2,y_1-y_2)∣OP∣−∣OQ∣=(x1−x2,y1−y2)

向量叉积

设法同上，则它们两叉积的大小∣OP∣×∣OQ∣=x1y2−x2y1|OP|×|OQ|=x_1y_2-x_2y_1∣OP∣×∣OQ∣=x1y2−x2y1
其中叉积的几何意义为两向量通过平行构成平行四边形的面积（可能为负数）

如何判断位置关系

快速排斥实验：判断线段构成的矩形是否交
跨立实验：判断两点是否在线段的两端

快速排斥实验code：

double js(abc p1, abc p2, abc p3)
{return (p1.x-p3.x)*(p2.y-p3.y)-(p1.y-p3.y)*(p2.x-p3.x);
}
bool online(abc p1, abc p2, abc p3)
{if(p3.x>=min(p1.x, p2.x)&&p3.x<=max(p1.x, p2.x)&&p3.y>=min(p1.y, p2.y)&&p3.y<=max(p1.y, p2.y))return 1;else return 0;
}

跨立实验code：

bool check(abc p1, abc p2, abc p3, abc p4)
{if(js(p3, p4, p1)*js(p3, p4, p2)<0&&js(p1, p2, p3)*js(p1, p2, p4)<0)return 1;else if(js(p3, p4, p1)==0&&online(p3, p4, p1))return 1;else if(js(p3, p4, p2)==0&&online(p3, p4, p2))return 1;else if(js(p1, p2, p3)==0&&online(p1, p2, p3))return 1;else if(js(p1, p2, p4)==0&&online(p1, p2, p4))return 1;return 0;
}

判断点是否在线段上

设线段∣OP∣|OP|∣OP∣，点QQQ，则如果∣OQ∣×∣OP∣=0|OQ|×|OP|=0∣OQ∣×∣OP∣=0，且满足快速排斥实验，则点QQQ在线段OPOPOP上

判断线段和线段是否相交

设线段Q1Q2,P1P2Q1Q2,P1P2Q1Q2,P1P2，则如果满足(P1−Q1)×(P2−Q1)∗(P1−Q2)×(P2−Q2)<0(P1-Q1)×(P2-Q1)*(P1-Q2)×(P2-Q2)<0(P1−Q1)×(P2−Q1)∗(P1−Q2)×(P2−Q2)<0，那么线段P1P2P1P2P1P2跨立Q1Q2Q1Q2Q1Q2
特殊的，如果交点为线段端点，则满足点是否在线段上则相交

判断直线和线段是否相交

则只需要判断线段是否跨立直线即可
code:

double js(abc p1, abc p2, abc p3)
{return (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x);
}
bool check(abc p1, abc p2, abc p3, abc p4)
{if(js(p1, p3, p2)*js(p1, p2, p4)>=0)return 1;return 0;
}

多边形面积

将多边形上点一一连起构成三角形，通过叉积算出每个三角形面积，然后相加

凸包

凸包概念

在平面内能把所有点围起来的周长最小的多边形

凸包算法

Andrew算法

先选出凸包上必定存在的一点，按照级角大小排序，模拟一条直线将凸包上的点一一算出。（由于电脑不能模拟直线旋转，则直接按照级角坐标排序后来选择）
code：（暂无）

Graham算法

同样选出凸包上一点，按照级角坐标排序，一一遍历点，通过判断旋转方向是否发生改变，用单调栈存储所有凸包上的点
code:

sort(p+2, p+1+n, cmp);
s[1]=1, top=1;
for(long long i=2; i<=n; i++)
{while(top>1&&cj(p[s[top-1]].x, p[s[top-1]].y, [s[top]].x, p[s[top]].y, p[i].x, p[i].y)<=0)top--;s[++top]=i;
}

旋转卡壳

选取凸包上一边，再在此凸包上选出与之构成三角形面积最大的一点，做此边的平行线穿过此点，则两条边正好将凸包卡住
code：（暂无）

判断点和线段是否在多边形内

设一条线从无限远的地方穿过此点，通过计算与多边形边的交点，得出是否在多边形内
设线段与多边形的边交于许多点，如果两个交点的中点也在多边形内，则线段在多边形内

未完继续~

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