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第 章 集 合
集合论是 由德 国著名数学家康托于 世纪 年代创建 的。由于集合 的研究不依赖于构
成集合 的事物 元素 的具体特性，因此研究对象的广泛性成为集合论的重要特征 ，从而使集合
论能渗透到现代数学的各个分支 ，成为现代数学的基础 。集合论在计算机科学理论 的研 究中
也有重要用途 ，在程序 设计、形式语 言、数据库、操作系统、并行处理等方面有着广泛 的应用 。
集合论 的内容是极其丰 富的，有早期 的朴素集合论和后来 的公理化集合论 。本章主要介
绍 朴素集合 论 的基本 内容 ，包 括：什 么 是集合 ，以及 有关子集、空集、全 集、补 集、幂 集等基本 概
念 ，集合的基本运算和集合代数的有关公式 ，在组合计数中有着广泛应用 的包含排斥原理等 。
集合 的基本概念
在数学理论 的研 究中，经常把概念分为原始概念和派生概念两种类型 。其 中派生概念是
指可 以由其他概念给 出定义 的概念 ，例如在平面几何 中，正方形可 以由邻边相等 的矩形来定
义 ；矩形则可 以由内角为直角的平行 四边形来定义等 。原始概念是指无法 由其他概念给 出定
义的概念，例如平面几何中的点、直线等。集合也是一种原始概念，无法给出精确的定义，只能
给 出说 明性 的描述 。
集合就是具有某种特点的研 究对象 的聚合 ，其 中每一个研究对象称为这个集合 的元素 。
例如 ，当研究对象为大学生时，北京工业大学学生 的全体可 以构成一个集合 ，而北京工业大学
的每一个学生就是这个集合 中的一个元素 。又如，在初等数论中，研究对象是整数 ，所 以正整
数全体或负整数全体都可 以构成集合 ，且每一个正整数或每一个负整数分别是这两个集合 中
的元素 。
一般用大写的英文字母 来代表集合；用小写的英文字母 来代表集
合 中的元素 。如果 是集合 中的元素，称 属 于 ，并记作
如果 不是集合 中的元素，称 不 属于 ，并记作
集合 的表示方法
集合有多种表示方法 ，下面介绍两种常用的表示方法 。
列举法
这种表示方法是把集合 中的所有元素置于花括号 内，元素之 间用逗号隔开 。如集合 含
有 个元素 ，它们分别是 。用列举法可把集合 表示成
易见 ， ，但
特征法
用特征法表示集合时，将 以某个小写的英文字母来统一表示该集合的元素 ，并指 出这类元
素 的共 同特征 。如
是素数，
花括号内的符号 “ ”读 作“系指 ”，花 括 号 内的逗 号读 作“并且 ”。因此 ，集合 中的元素是
一些素数 ，并且小于 ；或者简单地说 ， 是 由小于 的素数组成 。实 际上 ，集合 中的元素就
是 。可见集合 和列举法 中所提到 的集合 的元素完全相 同。
当两个集合 和 的元素相 同时，称这两个集合相等 ，记作
易见，上面提到的两个集合 和 是相等 的，即
子集
定义 设 是集合 ，如果 中每一个元素又都是 中的元素，则称 是 的子
集 ，也称 包含 或 含在 中，记作
或
如果 不是 的子集 ，即在 中至少有一个元素不属于 ，则称 不包含 或 不含在
中，记作
或
如果 是 的子集 ，但 和 不相等 ，也就
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