C++辗转相除法详解

求最大公约数有两种方法：

1.暴力枚举，从两个数中较小的那个数开始，一个一个从大到小枚举，最先枚举到的，就是最大公约数，此方法很简单，但是速度较慢。
2.欧几里德算法(也叫辗转相除法),公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明过程如下：

辗转相除法的证明方法（摘自百度）：

证法一

   a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r因此d也是b,a mod b的公约数假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。进而d|a.因此d也是a,b的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证法二

   假设c = gcd(a,b),则存在m,n，使a = mc, b = nc;令r = a mod b，即存在k，使r = a-kb = mc - knc = (m-kn)c;故gcd(b,a mod b) = gdc(b,r) = gcd(nc,(m-kn)c) = gcd(n,m-kn)*c;假设d = gcd(n,m-kn), 则存在x,y, 使n = xd, m-kn = yd; 故m = yd+kn = yd+kxd =     (y+kx)d;故有a = mc = (y+kx)dc, b = nc = xdc; 可得 gcd(a,b) = gcd((y+kx)dc,xdc) = dc;由于gcd(a,b) = c, 故d = 1;即gcd(n,m-kn) = 1, 故可得gcd(b,a mod b) = c;可得证gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).

C++代码实现`gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)`：

inline int GCD(int a,int b){   //inline可以优化函数，减小内存
int n=a>b?a:b;  //三元运算符，结构：`条件？语句1:语句二`。等价于 if(a>b) n=a; else n=b;
int m=b>a?a:b;
if(n%m==0) return m;  //如果n%m结果为0，输出m
return GCD(m,n%m);  //余数不为0，n替换为m;m替换为n%m;
}

知道了`gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)`公式怎么实现，就可以写出代码了。

code：

#include<cstdio>  //scanf和printf的头文件
using namespace std;
int a,b;
inline int GCD(int a,int b){  //上面有了，不解释int n=a>b?a:b;int m=b>a?a:b;if(n%m==0) return m;return GCD(m,n%m);
}
int main(){scanf("%d%d",&a,&b);  //输入a,bprintf("%d",GCD(a,b));  //输出答案
}

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证法一

证法二

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知道了`gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)`公式怎么实现，就可以写出代码了。

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