广义斐波那契数列通项公式以及一些扩展的思考

推导

定义数列 { A n } \{A_n\} {An}，对于 n ≥ 2 n\ge 2 n≥2 有 A n = a A n − 1 + b A n − 2 A_n=aA_{n-1}+bA_{n-2} An=aAn−1+bAn−2， A 0 , A 1 A_0,A_1 A0,A1 为定值。

定义矩阵：
M n = [ A n A n − 1 ] T = [ a b 1 0 ] P m = [ b m p m b m p m − 1 ] M_n=\begin{bmatrix} A_n\\ A_{n-1} \end{bmatrix} \\ T=\begin{bmatrix} a&b\\ 1&0 \end{bmatrix} \\ P_m=\begin{bmatrix} b^mp^m&b^mp^{m-1} \end{bmatrix} Mn=[AnAn−1]T=[a1b0]Pm=[bmpmbmpm−1]
其中 p p p 满足 b p 2 = a p + 1 bp^2=ap+1 bp2=ap+1

注意到：
T × M n = M n + 1 P m × T = P m + 1 P m × M n = P m × T × M n − 1 = P m + 1 × M n − 1 = P m + k × M n − k T \times M_n=M_{n+1}\\ P_m \times T=P_{m+1}\\ P_m \times M_n\\ =P_m \times T \times M_{n-1}\\ =P_{m+1} \times M_{n-1} \\=P_{m+k} \times M_{n-k} T×Mn=Mn+1Pm×T=Pm+1Pm×Mn=Pm×T×Mn−1=Pm+1×Mn−1=Pm+k×Mn−k
（什么？你没有注意到？请往后看）

thus
P 1 × M n = P n × M 1 P_1 \times M_n=P_n \times M_1 P1×Mn=Pn×M1
展开两边得到
[ b p A n + b A n − 1 ] = [ b n p n A 1 + b n p n − 1 A 0 ] [bpA_n+bA_{n-1}]=[b^np^nA_1+b^np^{n-1}A_0] [bpAn+bAn−1]=[bnpnA1+bnpn−1A0]
解 b p 2 = a p + 1 bp^2=ap+1 bp2=ap+1 的两个根：
p 1 = a + a 2 + 4 b 2 b p 2 = a − a 2 + 4 b 2 b p_1=\dfrac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2b}\\ p_2=\dfrac{a-\sqrt{a^2+4b}}{2b} p1=2ba+a2+4b p2=2ba−a2+4b
得到方程：
{ b p 1 A n + b A n − 1 = b n p 1 n A 1 + b n p 1 n − 1 A 0 b p 2 A n + b A n − 1 = b n p 2 n A 1 + b n p 2 n − 1 A 0 \begin{cases} bp_1A_n+bA_{n-1}=b^np_1^nA_1+b^np_1^{n-1}A_0\\ bp_2A_n+bA_{n-1}=b^np_2^nA_1+b^np_2^{n-1}A_0 \end{cases} {bp1An+bAn−1=bnp1nA1+bnp1n−1A0bp2An+bAn−1=bnp2nA1+bnp2n−1A0
解得：
A n = b n − 1 p 1 − p 2 [ ( p 1 n − p 2 n ) A 1 + ( p 1 n − 1 − p 2 n − 1 ) A 0 ] A_n=\dfrac{b^{n-1}}{p_1-p_2}[(p_1^n-p_2^n)A_1+(p_1^{n-1}-p_2^{n-1})A_0] An=p1−p2bn−1[(p1n−p2n)A1+(p1n−1−p2n−1)A0]
有趣

扩展

其实这个方法主要的难点在于构造 P m P_m Pm，我们希望 P m P_m Pm 满足 P m × T = P m + 1 P_m \times T=P_{m+1} Pm×T=Pm+1

我们希望各项之间有点关系，大概就是构造成
P m = [ x f ( x ) ] P_m=[x~~~~f(x)]\\ Pm=[x f(x)]
于是
P m + 1 = [ a x + f ( x ) b x ] ∴ f ( a x + f ( x ) ) = b x P_{m+1}=[ax+f(x)~~~~~bx]\\ \therefore f(ax+f(x))=bx Pm+1=[ax+f(x) bx]∴f(ax+f(x))=bx
我们构造 f ( x ) = x p − 1 f(x)=xp^{-1} f(x)=xp−1 （别为我为什么不是直接乘 p，问就是那样解出来的东西我不喜欢）
f ( a x + x p − 1 ) = b x a x p − 1 + x p − 2 = b x a p + 1 = b p 2 f(ax+xp^{-1})=bx\\ axp^{-1}+xp^{-2}=bx\\ ap+1=bp^2 f(ax+xp−1)=bxaxp−1+xp−2=bxap+1=bp2
哈哈哈哈，这不就构造出来了

我们再扩展一下，比如 { A n } \{A_n\} {An} 变成了 A n = A n − 1 + A n − 2 + A n − 3 A_n=A_{n-1}+A_{n-2}+A_{n-3} An=An−1+An−2+An−3 怎么样？
M n = [ A n A n − 1 A n − 2 ] T = [ 1 1 1 1 0 0 0 1 0 ] M_n=\begin{bmatrix} A_n\\ A_{n-1}\\ A_{n-2} \end{bmatrix} \\ T=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix} Mn=⎣⎡AnAn−1An−2⎦⎤T=⎣⎡110101100⎦⎤
仔细思考，相似地按照上面的步骤解
P m = [ p m − 1 p + 1 p m p m p + 1 ] P_m=\begin{bmatrix} \dfrac{p^{m-1}}{p+1}&p^m&\dfrac{p^m}{p+1} \end{bmatrix} Pm=[p+1pm−1pmp+1pm]
其中 p p p 满足 p 3 + p 2 + p = 1 p^3+p^2+p=1 p3+p2+p=1

这次不同的是 P m × T = P m − 1 P_m\times T=P_{m-1} Pm×T=Pm−1，我怀疑 p p p 变成 p − 1 p^{-1} p−1 可以变回原来的形式，不过这个样子也不错。

我怀疑我们可以用类似的方法推出来关于数列 { A n } \{A_n\} {An}， A n = ∑ j = 1 k a j A n − j A_n=\sum\limits_{j=1}^ka_jA_{n-j} An=j=1∑kajAn−j 的通项公式，以后有时间再推。

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