《矩阵论》学习笔记（三）：第三章 矩阵分析及其应用

本章讲述矩阵分析的理论，其基础是高等数学分析。所有的定义、性质都是从从高等数学分析中引申出来的。

文章目录

  • 《矩阵论》学习笔记（三）：第三章 矩阵分析及其应用
    • 一、矩阵序列
      • 1.1 什么是矩阵序列
      • 1.2 矩阵序列的收敛
      • 1.3 矩阵序列的有界
      • 1.4 收敛矩阵的定义与性质
    • 二、矩阵级数
      • 2.1 什么是矩阵级数
      • 2.2 矩阵级数的收敛性
      • 2.3 矩阵级数的绝对收敛
      • 2.4 幂级数
    • 三、矩阵函数
      • 3.1 矩阵函数的定义
      • 3.2 常见的矩阵函数与性质
      • 3.3 矩阵函数值的求法
        • 3.3.1 待定系数法
        • 3.3.2 数项级数求和法
        • 3.3.3 对角形法
        • 3.3.4 Jordan标准形法
      • 3.4 矩阵函数的另一种定义
    • 四、矩阵的微分与积分
      • 4.1 什么是函数矩阵？
      • 4.2 函数矩阵的导数与积分
      • 4.3 函数对矩阵的导数
      • 4.4 函数矩阵对矩阵的导数
    • 五、矩阵函数的一些应用
      • 1、一阶线性常系数齐次微分方程
      • 2、一阶线性常系数非齐次微分方程

一、矩阵序列

1.1 什么是矩阵序列

  • 1-矩阵序列提出的原因：
    矩阵序列是对数列的推广。

  • 2-矩阵序列的研究重点？
    研究重点：常常研究的是矩阵序列的收敛问题。
    解决方式：借助矩阵范数，将矩阵序列的收敛性问题→\to→正项数列的收敛性问题。

  • 3-什么是矩阵序列？

1.2 矩阵序列的收敛

  • 1-矩阵序列收敛/发散的定义
    [矩阵序列的收敛等价于多个数列收敛]

  • 2-矩阵序列收敛的性质：
    满足加法/乘法/逆的性质。

  • 3-矩阵序列收敛的判断：
    思路：借助矩阵范数，将矩阵序列的收敛性问题→\to→正项数列的收敛性问题。

设A∈Cm∗nA∈C^{m*n}A∈Cm∗n，则有：

  1. A(k)→OA^{(k)} \to OA(k)→O的充要条件是：∣∣A(k)∣∣→0||A^{(k)}|| \to 0∣∣A(k)∣∣→0.
  2. A(k)→AA^{(k)} \to AA(k)→A的充要条件是：∣∣A(k)−A∣∣→0||A^{(k)}-A|| \to 0∣∣A(k)−A∣∣→0.

1.3 矩阵序列的有界

1.4 收敛矩阵的定义与性质

  • 1-什么是收敛矩阵？
    [前提A是方阵n*n]
  • 2-收敛矩阵的判断：
  1. A为收敛矩阵的充要条件：ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1.
  2. A为收敛矩阵的充分条件：只要存在一种矩阵范数||.||，使得∣∣A∣∣<1||A||<1∣∣A∣∣<1.
    [根据矩阵谱半径的性质推出]

二、矩阵级数

2.1 什么是矩阵级数

  • 1-矩阵级数提出的原因：
    矩阵级数是对常数项级数概念的推广。
    数学分析中的级数(幂级数)理论占有很重要的位置。所以要讨论矩阵级数。

  • 2-矩阵级数的研究重点？
    研究重点：矩阵级数的收敛问题、幂级数。
    解决方式：借助矩阵范数，将矩阵级数的绝对收敛性问题→\to→正项级数的收敛性问题。

  • 3-什么是矩阵级数？

∑k=0无穷A(k)\sum_{k=0}^{无穷}A^{(k)}∑k=0无穷​A(k):矩阵序列形成的无穷项和。

2.2 矩阵级数的收敛性

  • 1-矩阵级数的部分和 S(k)S^{(k)}S(k)

  • 2-什么是矩阵级数的收敛？
    [矩阵级数的收敛等价于多个常数项级数收敛]

2.3 矩阵级数的绝对收敛

  • 1-什么是矩阵级数的绝对收敛？
    [矩阵级数的绝对收敛等价于多个常数项级数绝对收敛]
  • 2-矩阵级数绝对收敛的性质
∑k=0无穷A(k)\sum_{k=0}^{无穷}A^{(k)}∑k=0无穷​A(k) 矩阵级数绝对收敛的性质
性质1 绝对收敛级数的更序级数绝对收敛.
性质2 矩阵级数绝对收敛的充要条件：正项级数收敛.
性质3 矩阵级数收敛/绝对收敛，其则矩阵∑PA(k)Q\sum PA^{(k)}Q∑PA(k)Q也收敛/绝对收敛.
性质4 两矩阵级数绝对收敛，其按项相乘矩阵也绝对收敛.

2.4 幂级数

  • 1-什么是矩阵的幂级数？
    [矩阵是方阵]

  • 2-幂级数与矩阵幂级数的关系：

已知幂级数的收敛半径r，则：
若方阵A满足ρ(A)<r\rho(A)<rρ(A)<r，则矩阵幂级数收敛；
若方阵A满足ρ(A)>r\rho(A)>rρ(A)>r，则矩阵幂级数发散；
若方阵A满足ρ(A)=r\rho(A)=rρ(A)=r，矩阵幂级数收敛性不确定.

  • 3-矩阵幂级数收敛的判断：
  1. 方阵A的幂级数收敛的充要条件：
    A为收敛矩阵，且收敛时，其和为(I−A)−1(I-A)^{-1}(I−A)−1.
    [A为收敛矩阵，则要满足ρ(A)<1\rho(A)<1ρ(A)<1].
  2. 借助ρ(A)与r、ρ(A)与范数∣∣A∣∣\rho(A)与r、\rho(A)与范数||A||ρ(A)与r、ρ(A)与范数∣∣A∣∣的关系判断，ρ(A)<r、ρ(A)<∣∣A∣∣\rho(A)<r、\rho(A)<||A||ρ(A)<r、ρ(A)<∣∣A∣∣.
    [方阵幂级数的绝对收敛转换为复变量幂级数的绝对收敛].

三、矩阵函数

3.1 矩阵函数的定义

  • 1-矩阵函数提出的原因：
    矩阵函数是对一元函数概念的推广。
    矩阵函数以矩阵为自变量且取值也是矩阵的一类函数。
    矩阵函数的基础是矩阵序列和矩阵级数。
  • 2-矩阵函数的定义？
    矩阵函数是由一个收敛的矩阵幂级数的和定义的。
    矩阵函数存在的条件：
    1）A是方阵；
    2）是矩阵幂级数的和；
    3）ρ(A)<r\rho(A)<rρ(A)<r.

3.2 常见的矩阵函数与性质

  • 常见的矩阵函数：
复平面 Cn∗nC^{n*n}Cn∗n 矩阵幂级数 A∈Cn∗nA∈C^{n*n}A∈Cn∗n
指数函数 eze^zez 矩阵指数函数 eAe^AeA
三角函数 coszcoszcosz 矩阵三角函数 cosAcosAcosA
三角函数 sinzsinzsinz 矩阵三角函数 sinAsinAsinA
  • 常见矩阵函数的运算性质
  1. 指数运算：
    eAeB≠eBeA≠eA+Be^Ae^B≠e^Be^A≠e^{A+B}eAeB​=eBeA​=eA+B.
    而是：若AB=BAAB=BAAB=BA，则eAeB=eBeA=eA+Be^Ae^B=e^Be^A=e^{A+B}eAeB=eBeA=eA+B.
    ->eAe−A=e−AeA=eIe^Ae^{-A}=e^{-A}e^A=e^IeAe−A=e−AeA=eI
    ->(eA)−1=e−A(e^A)^{-1}=e^{-A}(eA)−1=e−A
  2. 三角函数运算：
    若AB=BAAB=BAAB=BA，则：
    cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
    cos2A=cos2A−sin2Acos2A=cos^2A-sin^2Acos2A=cos2A−sin2A
    sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
    sin2A=2sinAcosAsin2A=2sinAcosAsin2A=2sinAcosA

3.3 矩阵函数值的求法

3.3.1 待定系数法

待定系数法求解步骤：
1. 将矩阵A的特征多项式表达成特征值的因式 φ(λ)=det(λI−A)=∏i=1s(λ−xi)ri\varphi(\lambda)=det(\lambda I-A)=\prod_{i=1}^s(\lambda-x_i)^{ri}φ(λ)=det(λI−A)=∏i=1s​(λ−xi​)ri
2. 写出首1多项式.ψ(λ)\psi(\lambda)ψ(λ) 满足：
1）ψ(λ)=O\psi(\lambda)=Oψ(λ)=O；
2）ψ(λ)\psi(\lambda)ψ(λ)可以整除φ(λ).\varphi(\lambda).φ(λ).
3. 用首1多项式表示函数f(z)f(z)f(z) f(z)=ψ(λ)g(z)+r(z)f(z)=\psi(\lambda)g(z)+r(z)f(z)=ψ(λ)g(z)+r(z)
4. 计算r(z)→r(A)r(z) \to r(A)r(z)→r(A) f(A)=r(A)f(A)=r(A)f(A)=r(A)

3.3.2 数项级数求和法

3.3.3 对角形法

当A相似于一个对角矩阵B时，可以将矩阵幂级数求和问题转化成求其相似变换矩阵的问题。
A=PBP−1A=PBP^{-1}A=PBP−1,A2=PB2P−1A^2=PB^2P^{-1}A2=PB2P−1

f(A)=∑k=0无穷ckAk=P[...]P−1f(A)=\sum_{k=0}^{无穷}c_kA^k=P[...]P^{-1}f(A)=∑k=0无穷​ck​Ak=P[...]P−1
注意：这里的P矩阵不唯一，但结果却总是相同的。

3.3.4 Jordan标准形法

矩阵幂级数求和问题可以转化成求矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的问题。

3.4 矩阵函数的另一种定义

  • 1-矩阵函数另一种定义提出的原因：
    3.1中对矩阵的定义限制必须能够写成矩阵幂级数f(A)=∑ckAf(A)=\sum c_kAf(A)=∑ck​A的形式。
    而对于任意的函数，不一定能展开成幂级数的形式。所以需要拓宽矩阵函数的定义。
  • 2-矩阵函数的定义？
    任意矩阵都相似于一个Jordan标准形矩阵。用Jordan标准形矩阵来定义矩阵函数f(A)f(A)f(A).
    要求：函数f(z)f(z)f(z)在λi\lambda_iλi​处具有mi−1m_i-1mi​−1阶的导数。

四、矩阵的微分与积分

4.1 什么是函数矩阵？

对A(t)=(aij(t))m∗nA(t)=(a_{ij}(t))_{m*n}A(t)=(aij​(t))m∗n​，
其中，矩阵A中每个元素aij(t)a_{ij}(t)aij​(t)都是t的函数，这样的矩阵称作函数矩阵。

4.2 函数矩阵的导数与积分

  • 函数矩阵的导数：
    矩阵函数的导数值等于对矩阵中每个元素求导得到的矩阵。

  • 函数矩阵的积分：
    矩阵函数的积分值等于对矩阵中每个元素积分得到的矩阵。

定义 解释
矩阵函数 首先是一种函数，特殊之处在于：函数的自变量是矩阵，因变量也是矩阵
函数矩阵 首先是一种矩阵，特殊之处在于：矩阵中每一元素都关于自变量t的函数aij(t)a_{ij}(t)aij​(t)

4.3 函数对矩阵的导数

4.4 函数矩阵对矩阵的导数

函数矩阵的导数 -定义 解释
函数对矩阵的导数 首先有一个矩阵X，再有一个mn元的函数f(X)f(X)f(X)，其特点是：自变量是X中每一元素。求的是 f(X)dX\frac{f(X)}{dX}dXf(X)​。
函数矩阵对矩阵的导数 首先有一个函数矩阵F(X)，其特点是：每一元素都是一种函数f(X)ijf(X)_{ij}f(X)ij​。其中，f(X)ijdX\frac{f(X)_{ij}}{dX}dXf(X)ij​​即是上面“函数对矩阵的导数”

五、矩阵函数的一些应用

1、一阶线性常系数齐次微分方程

2、一阶线性常系数非齐次微分方程

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