数据圆整ROUNDUP|DOWN

圆整通常被理解为为满足某种要求而进行的数据修正。按照修正后的数据在数值上是否比原数据大，又可分为向上圆整和向下圆整。它们很像对模拟信号进行采样，对一定范围的数据向一个固定的数据靠拢。Linux内核中定义了面向整除的圆整计算宏。第一个叫做roundup。

#define roundup(x, y) ((((x) + ((y) - 1)) / (y)) * (y))

roundup类似于一个数学函数，它总是尝试找到大于x并接近x的可以整除y的那个数，也即向上圆整。那么为何内核不同是提供roundown宏定义呢？这是由于对于整型相除而言，所得的结果本身就是向下圆整的了。所以roundown可以很容易定义：

#define roundown(x, y) (((x) / (y)) * (y))

那么如何理解roundup的定义呢？看起来是尝试将(x) + ((y) - 1)的结果对y做向下取整，为何这样就可以实现x对y的向上取整呢？除法的本质在于对量的均分，那么观察下图：

图 133. 向上圆整算法证明

对于x = βy + δ来说，β>=0，y>0，并且0<=δ<y。因为y>0且为整数，那么0<=δ<y等价于0<=δ<=y-1。对于圆整运算来说，可以将x中可以整除y的部分βy提取出来，只对剩下的δ部分做圆整运算然后加上βy。同理这里对δ+y-1部分进行圆整，由于0<=δ<=y-1，得到y-1 <= δ + y-1 <= 2y-2。考虑两种情况：当可以整除时，δ=0，也即取y-1，显然圆整值为0，也即不用向上圆整；而不可整除时，δ>0，所以y-1 < δ + y-1 <= 2y-2，又因为y为整数，所以y <= δ + y-1 <= 2y-2成立，由于y=1时符合第一种情况，所以只需考虑y>=2的情况。y==y并且2y-2在y>=2时>=y且<2y，所以保证δ + y-1的圆整值为1，也即不整除则要始终向上圆整。

一种更易被人理解的定义方式如下，它根据取余的结果计算圆整，由于整除的概率很低，所以这种算法每次都要多计算一次取余，而不能完全避免对除法的运算以消减取余算法的影响，它的效率要低。

#define roundup(x, y) ((x)%(y) ? ((x)/(y) + 1) * (y) : x)

一段如下的测试程序可以看到它的作用：

  int divisor = 0;printf("divisor\troundup\trounddown\n");for(; divisor < 5; divisor++)printf("%d:\t%d\t%d\n", divisor, roundup(divisor, 2), roundown(divisor, 2));

输出结果如下：

divisor    roundup rounddown
0:  0   0
1:  2   0
2:  2   2
3:  4   2
4:  4   4

内核提供的另一个宏DIV_ROUND_UP用来对除法的结果进行圆整，也即总是取大于n并接近n的那个数整除d后的结果。DIV_ROUND_UP类似于roundup，只是少了乘的动作，原理也是相同的。

#define DIV_ROUND_UP(n,d) (((n) + (d) - 1) / (d))

DIV_ROUND_UP的处理结果如下：

0, 0
1, 1
2, 1
3, 2
4, 2

圆整可以通过除法实现，另一种实现方式是通过对低比特位进行清0操作，但是它们只适合对对齐到2的幂指数的操作有效。

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