计算机图形学第五章曲线与曲面（下）

5.3 B 样条曲线与曲面

B 样条曲线方程的定义

Bezier曲线的不足：阶次较大时特征多边形对曲线的控制将会减弱；没有局部性、不能做局部修改；拼接较复杂

B 样条曲线方程： P ( t ) = ∑ i = 0 n P i N i , k ( t ) P(t)=\sum\limits_{i=0}^nP_iN_{i,k}(t) P(t)=i=0∑nPiNi,k(t) ，其中：

P i ( i = 0 , 1 , . . . , n ) P_i\,(i=0,1,...,n) Pi(i=0,1,...,n) 是控制多边形的顶点
给定参数 t t t 轴上的一个分割 T = { t i : t 0 ≤ t i ≤ . . . ≤ t n + k } T=\{t_i:\,t_0\le t_i\le...\le t_{n+k}\} T={ti:t0≤ti≤...≤tn+k} ， T T T 称为节点矢量
N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) 称为 T T T 的 k k k 阶 B 样条基函数（调和函数），是一个 k k k 阶（ k − 1 k-1 k−1 次）分段多项式样条。其中每一个称为 B 样条，定义为：

N i , 1 ( t ) = { 1 t i ≤ x ≤ t i + 1 0 e l s e N i , k ( t ) = t − t i t i + k − 1 − t i N i , k − 1 ( t ) + t i + k − t t i + k − t i + 1 N i + 1 , k − 1 ( t ) N_{i,1}(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & t_i\le x\le t_{i+1} \\ 0 & else \end{array} \right. \\ N_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}(t) Ni,1(t)={10ti≤x≤ti+1elseNi,k(t)=ti+k−1−tit−tiNi,k−1(t)+ti+k−ti+1ti+k−tNi+1,k−1(t)

欲确定第 i i i 个 k k k 阶 B 样条 N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) ，需要用到 t i , t i + 1 , . . . , t i + k t_i,t_{i+1},...,t_{i+k} ti,ti+1,...,ti+k 共 k + 1 k+1 k+1 个节点，称区间 [ t i , t i + k ] [t_i, t_{i+k}] [ti,ti+k] 为 N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) 的支撑区间；

曲线方程中， n + 1 n+1 n+1 个控制顶点 P i ( i = 0 , 1 , . . . , n ) P_i\,(i=0,1,...,n) Pi(i=0,1,...,n) ，要用到 n + 1 n+1 n+1 个 k k k 阶B样条 N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) ，它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量 T = [ t 0 , t 1 , . . . , t n + k ] T=[t_0,t_1,...,t_{n+k}] T=[t0,t1,...,tn+k] ；

B 样条基函数的性质

局部支撑性是最重要的性质

局部支撑性： N i , k ( t ) = { ≥ 0 t ∈ [ t i , t i + k ] = 0 e l s e N_{i,k}(t)=\left\{\begin{array}{ll}\ge0 & t\in[t_i,t_{i+k}] \\=0 & else \end{array}\right. Ni,k(t)={≥0=0t∈[ti,ti+k]else

权性： ∑ i = 0 n N i , k ( t ) = 1 \sum\limits_{i=0}^nN_{i,k}(t)=1 i=0∑nNi,k(t)=1 ， t ∈ [ t k − 1 , t n + 1 ] t\in[t_{k-1},t_{n+1}] t∈[tk−1,tn+1]

微分公式： N i , k ′ ( t ) = k − 1 t i + k − 1 − t i N i , k − 1 ( t ) − k − 1 t i + k − t i + 1 N i + 1 , k − 1 ( t ) N'_{i,k}(t)=\frac{k-1}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(t)-\frac{k-1}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}(t) Ni,k′(t)=ti+k−1−tik−1Ni,k−1(t)−ti+k−ti+1k−1Ni+1,k−1(t)

次数：

N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) 在每一段 [ t i , t i + k ] [t_i,\,t_{i+k}] [ti,ti+k] 上都是次数不高于 k − 1 k-1 k−1 的多项式
N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) 在 l l l 重结点处的连续阶不低于 k − 1 − l k-1-l k−1−l 阶： t i − 1 < t i = t i + 1 = . . . = t i + l − 1 < t i + l t_{i-1}\lt t_i=t_{i+1}=...=t_{i+l-1}\lt t_{i+l} ti−1<ti=ti+1=...=ti+l−1<ti+l

B 样条曲线的类型划分

① 按照首末端点是否重合，分为闭曲线和开曲线；闭曲线又区分为周期和非周期两种情形：

周期闭曲线在首末端点是 C 2 C^2 C2 连续的，而非周期闭曲线一般是 C 0 C^0 C0 连续的
非周期闭曲线可以认为是开曲线的特例，按开曲线处理

② 按照节点矢量中节点的分布情况，分为四种类型：

均匀 B 样条曲线：节点矢量中节点沿参数轴均匀或等距分布
准均匀 B 样条曲线：与均匀 B 样条曲线差别在于两端节点具有重复度 k
分段 Bezier 曲线：节点矢量中，两端点节点具有重复度 k，所有内节点重复度为 k - 1
非均匀 B 样条曲线：节点矢量中的节点任意分布

（重复度就是指节点矢量中连续相等的节点数，比如某段区间有 t j − 1 < t j = t j + 1 = . . . = t j + l − 1 < t j + l t_{j-1}\lt t_j=t_{j+1}=...=t_{j+l-1}\lt t_{j+l} tj−1<tj=tj+1=...=tj+l−1<tj+l ，则中间相等的节点称为 T T T 的 l l l 重节点）

B 样条曲线的性质

局部性是最重要的性质，要记住下标

局部性：

B 样条曲线上参数为 t ∈ [ t i , t i + 1 ] t\in[t_i,\,t_{i+1}] t∈[ti,ti+1] 的点 P ( t ) P(t) P(t) 至多与 k k k 个控制顶点 P j ( i − k + 1 , . . . , i ) P_j\,(i-k+1,...,i) Pj(i−k+1,...,i) 有关，而与其他控制顶点无关；
移动点该曲线第 i i i 个控制顶点 P i P_i Pi 至多影响到定义在区间 ( t i , t i + k ) (t_i,\,t_{i+k}) (ti,ti+k) 上（即 N i , k ( t ) N_{i,k}(t) Ni,k(t) 支撑区间上）那部分曲线的形状，对曲线其余部分不发生影响

连续性：

分段参数多项式、导数公式：

凸包性、变差缩减性、几何不变性、仿射不变性： 与 Bezier 曲线相同

直线保持性： 控制顶点形成一条直线时，构成的 B 样条曲线也是一条直线

造型灵活性： 可以构造直线段、尖点、切线、过定点等特殊情况

B 样条曲线的矩阵表示

（这里只研究一次、二次和三次的均匀 B 样条曲线的矩阵表示；一次没有考过，都是考二次和三次；给出矩阵，写出代数形式，然后推导一阶、二阶的位置矢量和导数矢量，可能会画图）

一次 B 样条曲线

每相邻两个点可构造出一段一次 B 样条曲线

二次 B 样条曲线

每相邻三个点可构造出一段一次 B 样条曲线

三次 B 样条曲线

每相邻四个点可构造出一段一次 B 样条曲线

de Boor 算法

写出顶点的递推关系；注意下标；只需要画示意图，不需要精确作图

类似于 Bezier 曲线的 de Casteljau 算法，不用带入方程去求出曲线上的某一点，而是采用递归的方式求出：
P i [ r ] ( t ) = { P i r = 0 , i = j − k + 1 , . . . , j t − t i t i + k − r − t i P i [ r − 1 ] ( t ) + t i + k − r − t t i + k − r − t i P i − 1 [ r − 1 ] ( t ) e l s e r = 1 , 2 , . . . , k − 1 ; i = j − k + r + 1 , . . . , j P_i^{[r]}(t)= \left\{ \begin{array}{ll} P_i & r=0,\,i=j-k+1,...,j \\ \frac{t-t_i}{t_{i+k-r}-t_i}P_i^{[r-1]}(t)+\frac{t_{i+k-r}-t}{t_{i+k-r}-t_i}P_{i-1}^{[r-1]}(t) & else \end{array} \right. \\\\ r=1,2,...,k-1;\quad i=j-k+r+1,...,j Pi[r](t)={Piti+k−r−tit−tiPi[r−1](t)+ti+k−r−titi+k−r−tPi−1[r−1](t)r=0,i=j−k+1,...,jelser=1,2,...,k−1;i=j−k+r+1,...,j
最终迭代 k k k 次，得到 P ( t ) = P j [ k − 1 ] ( t ) P(t)=P_j^{[k-1]}(t) P(t)=Pj[k−1](t)

节点插入算法

一般不会考的

B 样条曲面

一般不会考的

5.4 NURBS曲线与曲面

NURBS 曲线的定义

记住NURBS的全称

NURBS（non-uniform rational B-spline）：非均匀有理 B 样条方法

（有理曲线就是，比如在平面上用参数方程表示曲线时， x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 都是有理函数）

优点： NURBS 既与描述自由型曲线、曲面形状的 B 样条方法相统一，又能精确表示二次胡与二次曲面（初等曲线、曲面）

定义： NURBS 曲线是由分段有理 B 样条多项式基函数定义的，给每个控制顶点加上了加上了权重因子（在 B 样条的基础上增加了一个吸引力权重，权重反映了控制顶点对曲线的吸引程度）：
P ( t ) = ∑ i = 0 n ω i P i N i , k ( t ) ∑ j = 0 n ω j N j , k ( t ) = ∑ i = 0 n P i R i , k ( t ) R i , k = ω i N i , k ( t ) ∑ j = 0 n ω j N j , k ( t ) P(t)=\frac{\sum\limits_{i=0}^n\omega_iP_iN_{i,k}(t)}{\sum\limits_{j=0}^n\omega_jN_{j,k}(t)}=\sum\limits_{i=0}^nP_iR_{i,k}(t) \quad\quad\quad R_{i,k}=\frac{\omega_iN_{i,k}(t)}{\sum\limits_{j=0}^n\omega_jN_{j,k}(t)} P(t)=j=0∑nωjNj,k(t)i=0∑nωiPiNi,k(t)=i=0∑nPiRi,k(t)Ri,k=j=0∑nωjNj,k(t)ωiNi,k(t)
R i , k ( t ) ( i = 0 , . . . , n ) R_{i,k}(t)\,(i=0,...,n) Ri,k(t)(i=0,...,n) 称为 k k k 阶有理基函数

NURBS 曲线的性质

最重要的还是局部性

① NURBS 基函数的性质：

局部支撑性： R i , k ( t ) = 0 , t ∉ [ t i , t i + k ] R_{i,k}(t)=0,\quad t\notin[t_i,\,t_{i+k}] Ri,k(t)=0,t∈/[ti,ti+k]

权性： ∑ i = 0 n R i , k ( u ) = 1 \sum\limits_{i=0}^nR_{i,\,k}(u)=1 i=0∑nRi,k(u)=1

可微性： 若分母不为零，

在节点区间内无限次连续可微；
在节点处 ( k − 1 − r ) (k-1-r) (k−1−r) 次连续可微， r r r 是该节点的重复度；

② NURBS 曲线的性质：

局部性质：

k k k 阶 NURBS 曲线上参数为 t ∈ [ t i , t i + k ] ⊂ [ t k − 1 , t n + 1 ] t\in[t_i,\,t_{i+k}]\sub[t_{k-1},\,t_{n+1}] t∈[ti,ti+k]⊂[tk−1,tn+1] 的一点 P ( t ) P(t) P(t) 至多与 k k k 个控制顶点 P j P_j Pj 及权因子 ω j ( j = i − k + 1 , . . . , i ) \omega_j\,(j=i-k+1,...,i) ωj(j=i−k+1,...,i) 有关，与其他顶点和权因子无关；
若移动 k k k 次 NURBS 曲线的一个控制顶点 P i P_i Pi 或改变其对应的权因子 ω i \omega_i ωi ，则仅仅影响定义在区间 [ t i , t i + k ] ⊂ [ t k − 1 , t n + 1 ] [t_i,\,t_{i+k}]\sub[t_{k-1},\,t_{n+1}] [ti,ti+k]⊂[tk−1,tn+1] 那部分曲线的形状

变差缩减性、凸包性、仿射与透射变换不变性： 与 Bezier 曲线相同

权因子的几何意义

要记住形状因子和权因子对曲线的影响表现在图上的样子

记 B B B 、 N N N 、 B i B_i Bi 分别为 ω i = 0 \omega_i=0 ωi=0 、 ω i = 1 \omega_i=1 ωi=1 和 ω i ≠ 0 , 1 \omega_i\not=0,\,1 ωi=0,1 对应曲线上的点，即： B = P ( t ; ω i = 0 ) B=P(t;\,\omega_i=0) B=P(t;ωi=0) ， N = P ( t ; ω i = 1 ) N=P(t;\,\omega_i=1) N=P(t;ωi=1) ， B i = P ( t ; ω i ≠ 0 , 1 ) B_i=P(t;\,\omega_i\not=0,\,1) Bi=P(t;ωi=0,1) ， P i = P ( t ; ω i → ∞ ) P_i=P(t;\,\omega_i\to\infin) Pi=P(t;ωi→∞)

（ B B B 代表 P i P_i Pi 完全没有影响时曲线的形状； N N N 代表 P i P_i Pi 的影响力和在 B 样条曲线中影响力一样时曲线的形状； B i B_i Bi 代表在 B 样条曲线的基础上对 P i P_i Pi 增加或减少影响力时曲线的形状）

令 α = R i , k ( t ; ω i = 1 ) \alpha=R_{i,k}(t;\,\omega_i=1) α=Ri,k(t;ωi=1) ， β = R i , k ( t ) \beta=R_{i,k}(t) β=Ri,k(t) ，则：
N = ( 1 − α ) B + α P i B i = ( 1 − β ) B + β P i N − B = α ( P i − B ) B i − B = β ( P i − B ) N=(1-\alpha)B+\alpha P_i \quad\quad B_i=(1-\beta)B+\beta P_i \\ N-B=\alpha(P_i-B) \quad\quad B_i-B=\beta(P_i-B) N=(1−α)B+αPiBi=(1−β)B+βPiN−B=α(Pi−B)Bi−B=β(Pi−B)
( P i , B i , N , B ) (P_i,\,B_i,\,N,\,B) (Pi,Bi,N,B) 四点的交比为：
1 − α α : 1 − β β = P i N B N : P i B i B B i = ω i \frac{1-\alpha}{\alpha}:\frac{1-\beta}{\beta}=\frac{P_iN}{BN}:\frac{P_iB_i}{BB_i}=\omega_i α1−α:β1−β=BNPiN:BBiPiBi=ωi

若 ω i \omega_i ωi 增大或减小，则 β \beta β 页增大或减小，所以曲线被拉向或者推离开 P i P_i Pi 点
若 ω i \omega_i ωi 增大或减小，则曲线被推离开或者拉向 P j ( j ≠ i ) P_j\,(j\not=i) Pj(j=i) 点
随着 B i B_i Bi 的运动，它扫描出一条直线 B P i BP_i BPi
若 B i B_i Bi 趋向 P i P_i Pi ，则 β \beta β 去向 1， ω j \omega_j ωj 趋向正无穷

圆锥曲线的 NURBS 表示

取节点向量为 T = [ 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ] T=[0,0,0,1,1,1] T=[0,0,0,1,1,1] ，则 NURBS 曲线退化为二次 Bezier 曲线，可以证明这是圆锥曲线弧方程：
P ( t ) = ( 1 − t 2 ) ω 0 P 0 + 2 t ( 1 − t ) ω 1 P 1 + t 2 ω 2 P 2 ( 1 − t 2 ) ω 0 + 2 t ( 1 − t ) ω 1 + t 2 ω 2 P(t)=\frac{(1-t^2)\omega_0P_0+2t(1-t)\omega_1P_1+t^2\omega_2P_2}{(1-t^2)\omega_0+2t(1-t)\omega_1+t^2\omega_2} P(t)=(1−t2)ω0+2t(1−t)ω1+t2ω2(1−t2)ω0P0+2t(1−t)ω1P1+t2ω2P2

形状因子： C s f = ω 1 2 ω 0 ω 2 C s f 0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 , + ∞ ) → + ∞ 曲线 P 0 P 2 椭圆抛物线双曲线 P 0 P 1 和 P 1 P 2 C_{sf}=\frac{\omega_1^2}{\omega_0\omega_2} \quad\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline C_{sf} & 0 & (0,\,1) & 1 & (1,\,+\infin) & \to+\infin \\ \hline 曲线 & P_0P_2 & 椭圆 & 抛物线 & 双曲线 & P_0P_1和P_1P_2 \\ \hline \end{array} Csf=ω0ω2ω12Csf曲线0P0P2(0,1)椭圆1抛物线(1,+∞)双曲线→+∞P0P1和P1P2

NURBS曲线的修改

常用方法：修改权因子、修改控制点、反插节点

NURBS曲面

一般不会考的注意这里权因子的下标变成了 ω i j \omega_{ij} ωij

5.5 Coons曲面

Coons 曲面的定义

属于构造插值曲面的方法，用于构造通过给定型值点的曲面

基本概念： 假定参数曲面方程为 P ( u , v ) ( u , v ∈ [ 0 , 1 ] ) P(u,\,v)\,(u,\,v\in[0,\,1]) P(u,v)(u,v∈[0,1])

曲面片的四条边界： P ( u , 0 ) P(u,\,0) P(u,0) ， P ( u , 1 ) P(u,\,1) P(u,1) ， P ( 0 , v ) P(0,\,v) P(0,v) ， P ( 1 , v ) P(1,\,v) P(1,v)
曲面片的四个角点： P ( 0 , 0 ) P(0,\,0) P(0,0) ， P ( 0 , 1 ) P(0,\,1) P(0,1) ， P ( 1 , 0 ) P(1,\,0) P(1,0) ， P ( 1 , 1 ) P(1,\,1) P(1,1)

要解决的问题： 给定四条在空间中围成封闭曲边四边形的参数曲线 P ( u , 0 ) P(u,\,0) P(u,0) ， P ( u , 1 ) P(u,\,1) P(u,1) ， P ( 0 , v ) P(0,\,v) P(0,v) ， P ( 1 , v ) P(1,\,v) P(1,v) ，构造一张参数曲面 P ( u , v ) ( u , v ∈ [ 0 , 1 ] ) P(u,\,v)\,(u,\,v\in[0,\,1]) P(u,v)(u,v∈[0,1])

方法： 双线性 Coons 曲面和双三次 Coons 曲面

双线性 Coons 曲面

这些内容都要记住，给出图形，写出双线性构造的算法；双三次计算量较大，不太可能会考

① 首先，在 u u u 向进行线性插值，得到以 P ( 0 , v ) P(0,\,v) P(0,v) 和 P ( 1 , v ) P(1,\,v) P(1,v) 为边界的直纹面（如图 (b) ）：
P 1 ( u , v ) = ( 1 − u ) P ( 0 , v ) + u P ( 1 , v ) P_1(u,\,v)=(1-u)P(0,\,v)+uP(1,\,v) P1(u,v)=(1−u)P(0,v)+uP(1,v)
② 接着，在 v v v 向进行线性插值，得到以 P ( u , 0 ) P(u,\,0) P(u,0) 和 P ( u , 1 ) P(u,\,1) P(u,1) 为边界的直纹面（如图 (a) ）：
P 2 ( u , v ) = ( 1 − v ) P ( u , 0 ) + v P ( u , 1 ) P_2(u,\,v)=(1-v)P(u,\,0)+vP(u,\,1) P2(u,v)=(1−v)P(u,0)+vP(u,1)
③ 再构造两条 v v v 向的连接端点的直线段：
( 1 − v ) P ( 0 , 0 ) + v P ( 0 , 1 ) ( 1 − v ) P ( 1 , 0 ) + v P ( 0 , 1 ) (1-v)P(0,\,0)+vP(0,\,1) \\ (1-v)P(1,\,0)+vP(0,\,1) (1−v)P(0,0)+vP(0,1)(1−v)P(1,0)+vP(0,1)
以这两条直线段为边界，构造直纹面 P 3 ( u , v ) P_3(u,\,v) P3(u,v) ：
P 3 ( u , v ) = ( 1 − u ) [ ( 1 − v ) P ( 0 , 0 ) + v P ( 0 , 0 ) ] + u [ ( 1 − v ) P ( 1 , 0 ) + v P ( 1 , 1 ) ] = [ 1 − u u ] [ P ( 0 , 0 ) P ( 0 , 1 ) P ( 1 , 0 ) P ( 1 , 1 ) ] [ 1 − v v ] u , v ∈ [ 0 , 1 ] P_3(u,\,v)=(1-u)[(1-v)P(0,\,0)+vP(0,\,0)]+u[(1-v)P(1,\,0)+vP(1,\,1)] \\= \begin{bmatrix} 1-u & u \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P(0,0) & P(0,1) \\ P(1,0) & P(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-v \\ v \end{bmatrix} \quad\quad u,\,v\in[0,\,1] P3(u,v)=(1−u)[(1−v)P(0,0)+vP(0,0)]+u[(1−v)P(1,0)+vP(1,1)]=[1−uu][P(0,0)P(1,0)P(0,1)P(1,1)][1−vv]u,v∈[0,1]
④ P ( u , v ) = P 1 ( u , v ) + P 2 ( u , v ) − P 3 ( u , v ) P(u,\,v)=P_1(u,\,v)+P_2(u,\,v)-P_3(u,\,v) P(u,v)=P1(u,v)+P2(u,v)−P3(u,v) 便是所要构造的面，矩阵形式为：
P ( u , v ) = − [ − 1 1 − u u ] [ 0 P ( u , 0 ) P ( u , 1 ) P ( 0 , v ) P ( 0 , 0 ) P ( 0 , 1 ) P ( 1 , v ) P ( 1 , 0 ) P ( 1 , 1 ) ] [ − 1 1 − v v ] u , v ∈ [ 0 , 1 ] P(u,\,v)= - \begin{bmatrix} -1 & 1-u & u \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & P(u,0) & P(u,1) \\ P(0,v) & P(0,0) & P(0,1) \\ P(1,v) & P(1,0) & P(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1-v \\ v \end{bmatrix} \quad\quad u,\,v\in[0,\,1] P(u,v)=−[−11−uu]⎣ ⎡0P(0,v)P(1,v)P(u,0)P(0,0)P(1,0)P(u,1)P(0,1)P(1,1)⎦ ⎤⎣ ⎡−11−vv⎦ ⎤u,v∈[0,1]

双三次 Coons 曲面

建议直接背诵[流汗]

① 使用 Hermite 基函数 F 0 F_0 F0 、 F 1 F_1 F1 、 G 0 G_0 G0 和 G 1 G_1 G1 作为调和函数，构造 u u u 向和 v v v 向的曲面：
P 1 ( u , v ) = F 0 ( u ) P ( 0 , v ) + F 1 ( u ) P ( 1 , v ) + G 0 ( u ) P u ( 0 , v ) + G 1 ( u ) P u ( 1 , v ) P 2 ( u , v ) = F 0 ( v ) P ( u , 0 ) + F 1 ( v ) P ( u , 1 ) + G 0 ( v ) P v ( u , 0 ) + G 1 ( v ) P v ( u , 1 ) P_1(u,\,v)=F_0(u)P(0,\,v)+F_1(u)P(1,\,v)+G_0(u)P_u(0,\,v)+G_1(u)P_u(1,\,v) \\ P_2(u,\,v)=F_0(v)P(u,\,0)+F_1(v)P(u,\,1)+G_0(v)P_v(u,\,0)+G_1(v)P_v(u,\,1) \\ P1(u,v)=F0(u)P(0,v)+F1(u)P(1,v)+G0(u)Pu(0,v)+G1(u)Pu(1,v)P2(u,v)=F0(v)P(u,0)+F1(v)P(u,1)+G0(v)Pv(u,0)+G1(v)Pv(u,1)
P u P_u Pu 、 P v P_v Pv 指切矢量， u , v ∈ [ 0 , 1 ] u,\,v\in[0,\,1] u,v∈[0,1]

② 对角点的数据进行插值，可得曲面 P 3 ( u , v ) P_3(u,\,v) P3(u,v) ：（ u , v ∈ [ 0 , 1 ] u,\,v\in[0,\,1] u,v∈[0,1] ）
P 3 ( u , v ) = [ F 0 ( u ) F 1 ( u ) G 0 ( u ) G 1 ( u ) ] [ P ( 0 , 0 ) P ( 0 , 1 ) P v ( 0 , 0 ) P v ( 0 , 1 ) P ( 1 , 0 ) P ( 1 , 1 ) P v ( 1 , 0 ) P v ( 1 , 1 ) P u ( 0 , 0 ) P u ( 0 , 1 ) P u v ( 0 , 0 ) P u v ( 0 , 1 ) P u ( 1 , 0 ) P u ( 1 , 1 ) P u v ( 1 , 0 ) P u v ( 1 , 1 ) ] [ F 0 ( v ) F 1 ( v ) G 0 ( v ) G 1 ( v ) ] P_3(u,\,v)= \begin{bmatrix} F_0(u) & F_1(u) & G_0(u) & G_1(u) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P(0,0) & P(0,1) & P_v(0,0) & P_v(0,1) \\ P(1,0) & P(1,1) & P_v(1,0) & P_v(1,1) \\ P_u(0,0) & P_u(0,1) & P_{uv}(0,0) & P_{uv}(0,1) \\ P_u(1,0) & P_u(1,1) & P_{uv}(1,0) & P_{uv}(1,1) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_0(v) \\ F_1(v) \\ G_0(v) \\ G_1(v) \end{bmatrix} \quad\quad P3(u,v)=[F0(u)F1(u)G0(u)G1(u)]⎣ ⎡P(0,0)P(1,0)Pu(0,0)Pu(1,0)P(0,1)P(1,1)Pu(0,1)Pu(1,1)Pv(0,0)Pv(1,0)Puv(0,0)Puv(1,0)Pv(0,1)Pv(1,1)Puv(0,1)Puv(1,1)⎦ ⎤⎣ ⎡F0(v)F1(v)G0(v)G1(v)⎦ ⎤
③ P ( u , v ) = P 1 ( u , v ) + P 2 ( u , v ) − P 3 ( u , v ) P(u,\,v)=P_1(u,\,v)+P_2(u,\,v)-P_3(u,\,v) P(u,v)=P1(u,v)+P2(u,v)−P3(u,v) 便是所要构造的面，矩阵形式为：（ u , v ∈ [ 0 , 1 ] u,\,v\in[0,\,1] u,v∈[0,1] ）
P ( u , v ) = − [ − 1 F 0 ( u ) F 1 ( u ) G 0 ( u ) G 1 ( u ) ] [ 0 P ( u , 0 ) P ( u , 1 ) P v ( u , 0 ) P v ( u , 1 ) P ( 0 , v ) P ( 0 , 0 ) P ( 0 , 1 ) P v ( 0 , 0 ) P v ( 0 , 1 ) P ( 1 , v ) P ( 1 , 0 ) P ( 1 , 1 ) P v ( 1 , 0 ) P v ( 1 , 1 ) P u ( 0 , v ) P u ( 0 , 0 ) P u ( 0 , 1 ) P u v ( 0 , 0 ) P u v ( 0 , 1 ) P u ( 1 , v ) P u ( 1 , 0 ) P u ( 1 , 1 ) P u v ( 1 , 0 ) P u v ( 1 , 1 ) ] [ − 1 F 0 ( v ) F 1 ( v ) G 0 ( v ) G 1 ( v ) ] P(u,\,v)= - \begin{bmatrix} -1 & F_0(u) & F_1(u) & G_0(u) & G_1(u) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & P(u,0) & P(u,1) & P_v(u,0) & P_v(u,1) \\ P(0,v) & P(0,0) & P(0,1) & P_v(0,0) & P_v(0,1) \\ P(1,v) & P(1,0) & P(1,1) & P_v(1,0) & P_v(1,1) \\ P_u(0,v) & P_u(0,0) & P_u(0,1) & P_{uv}(0,0) & P_{uv}(0,1) \\ P_u(1,v) & P_u(1,0) & P_u(1,1) & P_{uv}(1,0) & P_{uv}(1,1) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ F_0(v) \\ F_1(v) \\ G_0(v) \\ G_1(v) \end{bmatrix} \quad\quad P(u,v)=−[−1F0(u)F1(u)G0(u)G1(u)]⎣ ⎡0P(0,v)P(1,v)Pu(0,v)Pu(1,v)P(u,0)P(0,0)P(1,0)Pu(0,0)Pu(1,0)P(u,1)P(0,1)P(1,1)Pu(0,1)Pu(1,1)Pv(u,0)Pv(0,0)Pv(1,0)Puv(0,0)Puv(1,0)Pv(u,1)Pv(0,1)Pv(1,1)Puv(0,1)Puv(1,1)⎦ ⎤⎣ ⎡−1F0(v)F1(v)G0(v)G1(v)⎦ ⎤