2021牛客训练营5 B 比武招亲（上)(组合数学）

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直接考虑数字 i i i作为最大值多少次,作为最小值多少次

最大值加,最小值减,即可得解。

首先 m m m个数字先选出一个 x x x作为最大值,相当于求 [ 1 , x − 1 ] [1,x-1] [1,x−1]选出 m − 1 m-1 m−1个数

求有多少种本质不同的方案

然后 m m m个数字先选出一个 x x x作为最小值,相当于求 [ x , n ] [x,n] [x,n]选出 m − 1 m-1 m−1个数

求有多少种本质不同的方案

我们发现本质都是相同的,稍微把模型转化以下,我们需要解决这样一个问题

m m m个小球分成 n n n组,求本质不同的分法

m m m个小球形成 m − 1 m-1 m−1个间隙,插入 n − 1 n-1 n−1块隔板可以分成 n n n组

方案数是 C m − 1 n − 1 C_{m-1}^{n-1} Cm−1n−1

但是由于每组可以为空,所以我们往每组里提前加一个小球,就不是空的了,方案数是

C m + n − 1 n − 1 C_{m+n-1}^{n-1} Cm+n−1n−1

[题外话]

其实也可以直接枚举每种方案的差值 d d d

差值为 d d d的最大最小值有 n − d n-d n−d种选法,剩下把 d + 1 d+1 d+1个不同的数拿出 m − 2 m-2 m−2个

这就和上面一样应用隔板法了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 1e9;
const int mod = 998244353;
int ans = 0,fac[maxn],n,m;
int quick(int x,int n)
{int ans = 1;for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )if( n&1 ) ans = ans*x%mod;return ans;
}
int c(int n,int m)
{if( n<m||n<0||m<0 )   return 0;return fac[n]*quick( fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2)%mod;
}
int get(int x) { return c(m-1+x,x-1); }
signed main()
{//枚举最小值fac[0] = 1;for(int i=1;i<=1000000;i++)  fac[i] = fac[i-1]*i%mod;cin >> n >> m; m--;for(int i=1;i<=n;i++){ans = ( ans+i*get(i)%mod )%mod;ans = ( ans-i*get(n-i+1)%mod )%mod;}cout << ( ans%mod+mod )%mod;
}

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