[cf140e]New Year Garland

Description

用$m$种颜色的彩球装点$n$层的圣诞树。圣诞树的第$i$层恰由$l[i]$个彩球串成一行，且同一层内的相邻彩球颜色不同，同时相邻两层所使用彩球的颜色集合不同。

求有多少种装点方案，答案对$p$取模。

只要任一位置上的彩球颜色不同，就算作不同的方案。

Input

第一行三个整数$n,m,p$，表示圣诞树的层数、彩球的颜色数和取模的数。

接下来一行包含$n$个整数，表示$l[i]$。

Output

一个整数表示答案。

Sample Input

3 2 1000

3 1 2

Sample Output

HINT

$1\;\leq\;n,m\;\leq\;10^6,2\;\leq\;p\;\leq\;10^9,1\;\leq\;l[i]\;\leq\;5000,\sum\;l[i]\;\leq\;10^7$

Solution

先考虑单行的情况,$f[i][j]$表示前$i$个位置用了$j$种颜色的方案.

$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]\;\times\;(j-1)$

$g[i][j]$表示第$i$行有$j$种颜色的方案数.

$g[i][j]=f[l[i]][j]\;\times\;(\sum\;g[i-1][k]\;\times\;P_{m}^{j}-g[i-1][j]\;\times\;P_{j}^{j})$.

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 5005
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
int l[N],n,m;
ll f[M][M],g[2][M],fa[M],fac[M],p,sum;
inline int read(){int ret=0;char fa=getchar();while(!isdigit(fa))fa=getchar();while(isdigit(fa)){ret=(ret<<1)+(ret<<3)+fa-'0';fa=getchar();}return ret;
}
inline void Aireen(){n=read();m=read();p=(ll)(read());for(int i=1;i<=n;++i)l[i]=read();fa[0]=fac[0]=1ll;for(int i=1,j=m;i<M&&j;++i,--j){fa[i]=fa[i-1]*(ll)(i)%p;fac[i]=fac[i-1]*(ll)(j)%p;}//长度为i的情况 f[0][0]=1ll;for(int i=1;i<M;++i)for(int j=min(m,i);j;--j)f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*(ll)(j-1)%p)%p;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=l[i+1];++j)g[i&1][j]=0ll;if(i==1){for(int j=min(l[i],m);j;--j)g[i][j]=fac[j]*f[l[i]][j]%p;}else{sum=0ll;for(int j=min(l[i-1],m);j;--j)sum=(sum+g[i&1^1][j])%p;for(int j=min(l[i],m);j;--j){g[i&1][j]=(fac[j]*sum%p-fa[j]*g[i&1^1][j]%p+p)%p*f[l[i]][j]%p;}}}sum=0ll;for(int j=min(l[n],m);j;--j)sum=(sum+g[n&1][j])%p;printf("%I64d\n",sum);
}
int main(){freopen("christmas.in","r",stdin);freopen("christmas.out","w",stdout);Aireen();fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

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