【算法修炼】直线、平面问题

一、点集合确定的不同直线数

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。

给定平面上 2 × 3 个整点 {(x,y)|0 ≤ x < 2,0 ≤ y < 3, x ∈ Z,y ∈ Z}，即横坐标是 0 到 1 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。

给定平面上 20 × 21 个整点 {(x,y)|0 ≤ x < 20,0 ≤ y < 21, x ∈ Z,y ∈ Z}，即横坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

遍历两个点，采用直线方程：(y1-y2) * x +(x2-x1) * y +( x1 * y2 - x2 * y1)=0直线方程，最好采用这种方式，可以避免精度问题、分数问题，注意要求三个数的gcd，并约分，如果求直线条数可以直接装到set中。

上面的直线方程由两点式直线方程推出，即 (y - y2) / (y1 - y2) = (x - x2) / (x1 - x2)

二、直线上最多的点数

思路，遍历两个点，统计从每个点出发的k（斜率）的个数，只取出现次数最多的k，个数+1就 = 对当前点来说，一条直线最多能够经过的点的个数（这条直线一定包含当前点，这就是前面+1的原因），再从剩下的点出发，依次比较答案，取最大值即可。

class Solution {public int maxPoints(int[][] points) {int ans = 0;for (int i = 0; i < points.length; i++) {HashMap<String, Integer> map = new HashMap<>();// 对于当前点来说，一条直线最多经过的点的个数int max = 0;for (int j = i + 1; j < points.length; j++) {int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];int up = y2 - y1;int down = x2 - x1;int tmp = gcd(up, down);up /= tmp;down /= tmp;String str = up + "_" + down;map.put(str, map.getOrDefault(str, 0) + 1);max = Math.max(max, map.get(str));}// 别忘了自己本身也算一个点ans = Math.max(ans, max + 1);}return ans;}public int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % b);}
}

三、平面切分

【问题描述】
平面上有 N 条直线，其中第 i 条直线是 y = Ai · x + Bi。
请计算这些直线将平面分成了几个部分。
【输入格式】
第一行包含一个整数 N。
以下 N 行，每行包含两个整数 Ai; Bi。
【输出格式】
一个整数代表答案。
【样例输入】
3
1 1
2 2
3 3
1
2
3
4
【样例输出】
6
1
【评测用例规模与约定】
对于 50% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 4, −10 ≤ Ai; Bi ≤ 10。
对于所有评测用例， 1 ≤ N ≤ 1000, −100000 ≤ Ai; Bi ≤ 100000。

平面中只有一条直线时（划分两个平面），如果增加一条平行的直线，划分的平面数 + 1；如果增加的一条直线是相交的，划分的平面数 + 2 = 4。再增加一条线与之前两条线相交，平面数 + 3 = 7。
规律：每增加一条直线，增加的平面数 = 该直线与之前直线的交点数 + 1

需要注意的是，可能有重复边的情况，要去重，这里选择直接对坐标点去重，更加方便。

题目中直接告诉了斜率和截距，那就很方便，不用再求k了。

y = A1X + B1，y = A2X + B2，交点，x = (B2 - B1) / (A1 - A2)，y = A1X + B1或者y = A2X + B2都可以。

四、消灭老鼠

用(y1-y2) * x +(x2-x1) * y +( x1 * y2 - x2 * y1)=0直线方程来表示，找不同直线的条数，注意去重，注意使用gcd对三数约分。

import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);int n = scan.nextInt();// 激光枪所在位置int x2 = scan.nextInt();int y2 = scan.nextInt();int[] mouses = new int[n];// 计算当前点与与激光枪形成直线，求直线条数即可（去重）HashSet<String> set = new HashSet<>();// (y1 - y2) * x + (x2 - x1) * y + (x1 * y2 - x2 * y1) = 0for (int i = 0; i < n; i++) {int x1 = scan.nextInt();int y1 = scan.nextInt();int a = y1 - y2;int b = x2 - x1;int c = x1 * y2 - x2 * y1;// 三数约分int div = gcd(a, gcd(b, c));a /= div;b /= div;c /= div;String tmp = a + "x" + "+" + b + "y" + "+" + c;set.add(tmp);}System.out.println(set.size());}public static int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}
}

如果题目中要求站在原点，遍历不同的方向，那就需要把四个象限的k值分开考虑，此时最好的方法时，求gcd时，都使用绝对值，这样得到的最大公约数都是正数，可以分别为每个象限记录k值。