[SHOI2017]分手是祝愿

题目：
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20437

有nnn盏灯，111表示开的，000表示关的。每次操作随机选一个开关i(1≤i≤n)i(1\le i\le n)i(1≤i≤n)，对于所有的j(j∣i)j(j|i)j(j∣i)，第jjj盏灯的状态反转。如果当前在最优的情况下只需要x(x≤k)x(x\le k)x(x≤k)个开关就能使所有的灯关掉，则按照最优的情况进行操作。求关掉所有灯的期望次数。

思路：

首先考虑如何对于一个状态求最小步数。
由于编号小的开关不会影响到后面的灯，所以应该按编号从大到小决策。对于当前枚举到的灯iii，如果它是开着的，那么必须使用开关iii。所以可以很快求出对于初始状态的步数。

最优情况每个开关最多操作一次，所以最优情况最多为nnn。
最优操作的顺序没有关系。
最优操作唯一(不考虑顺序)

dp[i]dp[i]dp[i]表示在最优情况下还需要iii次操作才能把所有灯关掉的状态到完成态的期望操作次数。(因为关掉一盏灯会影响还需要的最优步数)那么接下来有in\frac{i}{n}ni的概率到达最优情况下还要i−1i-1i−1次操作的状态，n−in\frac{n-i}{n}nn−i的概率到达i+1i+1i+1的状态。(如果使用的就是最优策略的iii个开关中的一个，那么最优次数减111，否则加111)
dp[i]={in⋅dp[i−1]+n−in⋅dp[i+1]+1(k<i≤n)①i(i≤k)②dp[i]= \begin{cases} \frac{i}{n}\cdot dp[i-1]+\frac{n-i}{n}\cdot dp[i+1]+1(k<i\le n)\quad①\\ i(i\le k)\quad②\\ \end{cases} dp[i]={ni⋅dp[i−1]+nn−i⋅dp[i+1]+1(k<i≤n)①i(i≤k)②
设初始最优要numnumnum次，则dp[0]=0dp[0]=0dp[0]=0，dp[num]dp[num]dp[num]为答案。

解方程组，时间复杂度太高
看成数列，构造
dp[i]=in⋅dp[i−1]+n−in⋅dp[i+1]+1in⋅(dp[i]−dp[i−1])=n−in⋅(dp[i+1]−dp[i])+1令dp[i]−dp[i−1]=f[i]f[i]=n−ii⋅f[i+1]+nif[n]=1k<i≤n\begin{aligned} dp[i]&=\frac{i}{n}\cdot dp[i-1]+\frac{n-i}{n}\cdot dp[i+1]+1\quad\\ \frac{i}{n}\cdot(dp[i]-dp[i-1])&=\frac{n-i}{n}\cdot(dp[i+1]-dp[i])+1\quad令dp[i]-dp[i-1]=f[i]\\ f[i]&=\frac{n-i}{i}\cdot f[i+1]+\frac{n}{i}\quad f[n]=1\quad k<i\le n\\ \end{aligned} dp[i]ni⋅(dp[i]−dp[i−1])f[i]=ni⋅dp[i−1]+nn−i⋅dp[i+1]+1=nn−i⋅(dp[i+1]−dp[i])+1令dp[i]−dp[i−1]=f[i]=in−i⋅f[i+1]+inf[n]=1k<i≤n
从后往前递推f[i]f[i]f[i]。如果num>k,dp[num]=dp[k]+∑i=k+1numf[i]num>k,dp[num]=dp[k]+\sum_{i=k+1}^{num}f[i]num>k,dp[num]=dp[k]+∑i=k+1numf[i]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=100005,mo=100003;typedef long long LL;int n,Fac[N],C[N],m,k,bz[N],Inv[N],ans;char c;int read()
{int x=0,sig=1;for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar()) if (c=='-') sig=-1;for (;c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;return x*sig;
}int main()
{n=read(); k=read();for (int i=1;i<=n;i++) bz[i]=read();for (int i=n;i;i--) if (bz[i]){m++;for (int j=1;j*j<=i;j++) if (i%j==0){bz[j]^=1;if (i/j>j) bz[i/j]^=1;}}Fac[0]=Fac[1]=Inv[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mo;Inv[i]=(LL)Inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;}if (k>=m){printf("%d\n",(LL)Fac[n]*m%mo);return 0;}C[0]=1;for (int i=0;i<n;i++) C[i+1]=(LL)C[i]*(n-i)%mo*Inv[i+1]%mo;for (int i=1;i<=n;i++) C[i]=(C[i]+C[i-1])%mo;for (int i=k+1;i<=m;i++) ans=(ans+(LL)Fac[n-i]*Fac[i-1]%mo*(C[n]-C[i-1]))%mo;if (ans<0) ans+=mo;ans=(LL)ans*n%mo;ans=(ans+(LL)Fac[n]*k)%mo;printf("%d\n",ans);return 0;
}

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