图a. Principle of GAN.

前两天纽约暴雪，天地一片苍茫。今天元宵节，长岛依然清冷寂寥，正月十五闹花灯的喧嚣热闹已成为悠远的回忆。这学期，老顾在讲授一门研究生水平的数字几何课程，目前讲到了2016年和丘成桐先生、罗锋教授共同完成的一个几何定理【3】，这个工作给出了经典亚历山大定理（Alexandrov Theorem）的构造性证明，也给出了最优传输理论（Optimal Mass Transportation）的一个几何解释。这几天，机器学习领域的Wasserstein GAN突然变得火热，其中关键的概念可以完全用我们的理论来给出几何解释，这允许我们在一定程度上亲眼“看穿”传统机器学习中的“黑箱”。下面是老顾下周一授课的讲稿。

生成对抗网络 GAN

训练模型 生成对抗网络GAN （Generative Adversarial Networks）是一个“自相矛盾”的系统，就是以己之矛克以己之盾，在矛盾中发展，使得矛更加锋利，盾更加强韧。这里的矛被称为是判别器（Descriminator），这里的盾被称为是生成器（Generator）。

图b. Generative Model.

生成器G一般是将一个随机变量（例如高斯分布，或者均匀分布），通过参数化的概率生成模型（通常是用一个深度神经网来进行参数化），进行概率分布的逆变换采样，从而得到一个生成的概率分布。判别器D也通常采用深度卷积神经网。

图1. GAN的算法流程图。

矛盾的交锋过程如下：给定真实的数据，其内部的统计规律表示为概率分布，我们的目的就是能够找出。为此，我们制作了一个随机变量生成器G，G能够产生随机变量，其概率分布是，我们希望尽量接近。为了区分真实概率分布和生成概率分布，我们又制作了一个判别器D，给定一个样本，D来复制判别这个样本是来自真实数据还是来自伪造数据。Goodfellow给GAN中的判别器设计了如下的损失函数（lost function）， 尽可能将真实样本判为正例，生成样本判为负例：

。

第一项不依赖于生成器G, 此式也可以定义GAN中的生成器的损失函数。

在训练中，判别器D和生成器G交替学习，最终达到纳什均衡（零和游戏），判别器无法区分真实样本和生成样本。

优点 GAN具有非常重要的优越性。当真实数据的概率分布不可计算的时候，传统依赖于数据内在解释的生成模型无法直接应用。但是GAN依然可以使用，这是因为GAN引入了内部对抗的训练机制，能够逼近一下难以计算的概率分布。更为重要的，Yann LeCun一直积极倡导GAN，因为GAN为无监督学习提供了一个强有力的算法框架，而无监督学习被广泛认为是通往人工智能重要的一环。

缺点 原始GAN形式具有致命缺陷：判别器越好，生成器的梯度消失越严重。我们固定生成器G来优化判别器D。考察任意一个样本，其对判别器损失函数的贡献是

两边对求导，得到最优判别器函数

代入生成器损失函数，我们得到所谓的Jensen-Shannon散度（JS）

。

在这种情况下（判别器最优），如果的支撑集合（support）交集为零测度，则生成器的损失函数恒为0，梯度消失。

改进 本质上，JS散度给出了概率分布之间的差异程度，亦即概率分布间的度量。我们可以用其他的度量来替换JS散度。Wasserstein距离就是一个好的选择，因为即便的支撑集合（support）交集为零测度，它们之间的Wasserstein距离依然非零。这样，我们就得到了Wasserstein GAN的模式【1】【2】。Wasserstein距离的好处在于即便两个分布之间没有重叠，Wasserstein距离依然能够度量它们的远近。

为此，我们引入最优传输的几何理论（Optimal Mass Transportation），这个理论可视化了W-GAN的关键概念，例如概率分布，概率生成模型（生成器），Wasserstein距离。更为重要的，这套理论中，所有的概念，原理都是透明的。例如，对于概率生成模型，理论上我们可以用最优传输的框架取代深度神经网络来构造生成器，从而使得黑箱透明。

最优传输理论梗概

给定欧氏空间中的一个区域，上面定义有两个概率测度和，满足

,

我们寻找一个区域到自身的同胚映射（diffeomorphism），, 满足两个条件：保持测度和极小化传输代价。

保持测度 对于一切波莱尔集,

换句话说映射T将概率分布映射成了概率分布，记成 。直观上，自映射，带来体积元的变化，因此改变了概率分布。我们用和来表示概率密度函数，用来表示映射的雅克比矩阵（Jacobian matrix），那么保持测度的微分方程应该是：,

，

这被称为是雅克比方程（Jacobian Equation）。

最优传输映射 自映射的传输代价（Transportation Cost）定义为

。

在所有保持测度的自映射中，传输代价最小者被称为是最优传输映射（Optimal Mass Transportation Map），亦即：

,

最优传输映射的传输代价被称为是概率测度和概率测度之间的Wasserstein距离，记为。

在这种情形下，Brenier证明存在一个凸函数，其梯度映射

就是唯一的最优传输映射。这个凸函数被称为是Brenier势能函数（Brenier potential）。

由Jacobian方程，我们得到Brenier势满足蒙日-安培方程，梯度映射的雅克比矩阵是Brenier势能函数的海森矩阵（Hessian Matrix），

。

蒙日-安培方程解的存在性、唯一性等价于经典的凸几何中的亚历山大定理（Alexandrov Theorem）。

图2. 亚历山大定理。

亚历山大定理  如图2所示，给定平面凸区域，考察一个开放的凸多面体，选定一个面，的法向量记为，的投影和相交的面积记为，则总投影面积满足

，

凸多面体可以被确定。亚历山大定理对任意维凸多面体都成立。

后面，我们可以看到，这个凸多面体就是Brenier势能函数，其梯度映射将一个概率分布映到另外一个概率分布，并且这两个概率分布之间的Wasserstein 距离对偶于此凸多面体决定的体积。理论上，这个凸多面体可以作为W-GAN模型中的生成器G。

W-GAN中关键概念可视化

Wasserstein-GAN模型中，关键的概念包括概率分布（概率测度），概率测度间的最优传输映射（生成器），概率测度间的Wasserstein距离。下面，我们详细解释每个概念所对应的构造方法，和相应的几何意义。

概率分布 GAN模型中有两个至关重要的概率分布（probability measure），一个是真实数据的概率分布，一个是生成数据的概率分布。另外，生成器的输入随机变量，满足标准概率分布（高斯、均匀分布）。

图3. 由保角变换（conformal mapping）诱导的圆盘上概率测度。

概率测度可以看成是一种推广的面积（或者体积）。我们可以用几何变换随意构造一个概率测度。如图3所示，我们用三维扫描仪获取一张人脸曲面，那么人脸曲面上的面积就是一个概率测度。我们缩放变换人脸曲面，使得总曲面等于。然后，我们用保角变换将人脸曲面映射到平面圆盘。如图3所示，保角变换将人脸曲面上的无穷小圆映到平面上的无穷小圆，但是，小圆的面积发生了变化。每对小圆的面积比率定义了平面圆盘上的概率密度函数。

我们可以将以上的描述严格化。人脸曲面记为，其上具有黎曼度量。平面圆盘记为，平面坐标为，平面的欧氏度量为。保角映射记为

，

则，这里面积变换率函数给出了概率密度函数。诱导了圆盘上的一个概率测度。

图4. 两个概率测度之间的最优传输映射。

最优传输映射 圆盘上本来有均匀分布，又有保角变换诱导的概率分布，则存在唯一的最优传输映射。图4显示了这个映射，中间帧到右帧的映射就是最优传输映射。我们看到，鼻尖周围的区域被压缩，概率密度提高。

图5. 离散最优传输。

离散最优传输映射 最优传输映射的数值计算非常几何化，因此可以直接被可视化。我们将目标概率测度离散化，表示成一族离散点，；每点被赋予一个狄拉克测度，，满足。然后，我们求得单位圆盘的一个胞腔分解，，每个胞腔映到相应的目标点，。映射保持概率测度，胞腔的面积等于目标测度，

,

同时极小化传输代价，

。

图6. 离散Brenier势能函数，离散最优传输映射。

离散Brenier势能 离散最优传输映射是离散Brenier势能函数的梯度映射。对于每一个目标离散点，我们构造一个平面 ，这里平面的截距是未知变量。这些平面的上包络（upper envelope）构成一个开放的凸多面体，恰为离散Brenier势能函数的图（Graph）,

。

图6左侧显示了离散Briener势能函数。凸多面体在平面上的投影构成了平面的胞腔分解，凸多面体的每个面被映成了一个胞腔；每个面的梯度都是，因此Brenier势能函数的梯度映射就是。

根据保测度性质，每个胞腔的面积应该等于指定面积。由此，我们调节平面的截距以满足这个限制。根据亚历山大定理，这种截距存在，并且本质上唯一。

离散Wasserstein距离 我们和丘成桐先生建立了变分法来求取平面的截距。给定截距向量，平面族为，其上包络构成的Briener势能函数为 , 上包络的投影生成了平面的胞腔分解, 胞腔的面积记为。我们定义的能量为，

,

这个能量在子空间 上是严格凹的，其唯一的全局最大点就给出了满足保测度条件的截距。这个能量的非线性项，实际上是上包络截出的柱体体积，

，

图7给出了柱体体积的可视化，柱体体积是凸函数。

图7. 离散Brenier势能函数的图截出的柱体体积。

体积函数和Wasserstein距离之间相差一个勒让德变换（Legendre Transformation）。勒让德变换非常几何化，我们可以将其可视化。给定一个定义在实数轴上的二阶光滑凸函数，其图是一条凸曲线，这条凸曲线由其所有的切线包络而成。如果，在任意一点，函数的切线的斜率为y，则此切线的截距满足

，

这被称为是函数的勒让德变换。以切线的斜率为参数，以切线的截距为函数值。

图8.凸函数的图像由其切线包络而成，切线集合被表示成原函数的勒让德对偶。

因为的凸性，映射是微分同胚，记为。那么，原函数和勒让德变换后的函数满足关系：

,

这里c,d是常数。原函数和其勒让德变换的直观图解由图9给出。我们在xy-平面上画出曲线，曲线下面的面积是，曲线上面的面积是勒让德变换。

图9. 图解勒让德变换。

勒让德变换的几何图景对任意维都对。我们下面来考察体积函数的勒让德变换。根据定义，

,

假如我们变动截距，或者等价地变动胞腔面积，考察两个胞腔交界处，

,

p本来属于，变化后属于，所有这种点的总面积为。则为Wasserstein距离带来的变化是：

因此，总的Wasserstein距离的变化是

。

由此我们看到Wasserstein距离等于

，

其非线性部分是柱体积的勒让德变换。

总结

通过以上讨论，我们看到给定两个概率分布，则存在唯一的一个凸函数（Brenier 势函数），其梯度映射把一个概率分布映成了另外一个概率分布。这个最优传输映射的传输代价就给出了两个概率分布之间的Wasserstein距离。Brenier势能函数，Wasserstein距离都有明晰的几何解释。

在Wasserstein-GAN模型中，通常生成器和判别器是用深度神经网络来实现的。根据最优传输理论，我们可以用Briener势函数来代替深度神经网络这个黑箱，从而使得整个系统变得透明。在另一层面上，深度神经网络本质上是在训练概率分布间的传输映射，因此有可能隐含地在学习最优传输映射，或者等价地Brenier势能函数。对这些问题的深入了解，将有助于我们看穿黑箱。

图10. 基于二维最优传输映射计算的曲面保面积参数化（area preserving parameterization），苏政宇作。

图11. 基于三维最优传输映射计算的保体积参数化 （volume preserving parameterization），苏科华作。

（在2016年，老顾撰写了多篇有关最优传输映射的博文，非常欣慰地看到这些文章启发了一些有心的学者，发表了SIGGRAPH论文，申请了NSF基金。感谢大家关注老顾谈几何，希望继续给大家灵感。）

参考资料

[1]Arjovsky, M. & Bottou, L.eon (2017) Towards Principled Methods for Training Generative Adversarial Networks

[2] Arjovsky, M., Soumith, C. & Bottou, L.eon (2017) Wasserstein GAN.

[3] Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun and Shing-Tung Yau, Variational Principles forMinkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere
Equations, Vol. 20, No. 2, pp. 383-398, Asian Journal of Mathematics (AJM), April 2016.