【数学】第二型曲线积分

先从一个物理概念入手，有一个质点受如下的变力作用：

$\overrightarrow{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ 其中 $P(x,y)$ 为该力x方向上的分量， $Q(x,y)$ 为该力y方向上的分量。

该力F沿曲线L从A到B一共做了多少功呢？我们使用积分求解的典型步骤来完成求解：

第一步：分割计算微元，特点是计算的微元必须是分段的，因为连续性，会有统一的方程

将AB分割成n份，则 $\overrightarrow{M_{i-1}M{i}}=\Delta x_{i}\vec{i}+\Delta y_{i}\vec{j}$

对 $[M_(i-1), M_i]$ 中取任意一点 $(\xi _i, \eta _i)$ 该段的作用力则：

$\vec{F}(\xi _i,\eta _i)=P(\xi _i,\eta _i)\vec{i}+Q(\xi _i,\eta _i)\vec{j}$

在该区间内的功，近似 $\Delta W_i\approx \vec{F}(\xi _i, \eta _i)\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\approx P(\xi _i,\eta _j)\Delta x_i+Q(\xi _i,\eta _j)\Delta y_i$

第二步：求和

$W=\sum _{i=1}^{n}\Delta W_i\approx \sum _{i=1}^{n}\vec{F}(\xi _i,\eta _i)\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\approx \sum _{i=1}^{n}[P(\xi _i,\eta _i)\Delta x_i+Q(\xi _i,\eta _i)\Delta y_i]$

第三步：取极限

$[M_(i-1), M_i]$ 的最大间隔为 $\lambda$

$W=\lim_{\lambda \to 0} \sum _{i=1}^{n}\vec{F}(\xi _i,\eta _i)\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\approx=\lim_{\lambda \to 0}\sum _{i=1}^{n}[P(\xi _i,\eta _i)\Delta x_i+Q(\xi _i,\eta _i)\Delta y_i]$ 注意这里得到的是精确值。

则引出第二型曲线积分：

$W=\int_{L} \vec{F}(x,y)d\vec{r}$ 该形式为向量形式

$W=\int_{L} [P(x,y)dx + Q(x,y)dy]$ 该形式为坐标形式

【一二型曲线积分的差别】

第一型积分：

数量函数 $\rho (x,y)$ 对弧长的积分，与方向无关。化为定积分时，下限总是小于上限。

第二型积分：

向量函数 $\vec{F}(x,y)$ 对坐标的积分之和，与积分的方向有关。

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