高等数学:第四章 不定积分(3) 分部积分法
§4.3 分部积分法
设函数,
具有连续导数, 那么
移项得:
对这个等式两边求不定积分,得:
(1)
式(1)称为分部积分公式。
(1)还可表述成如下形式:
(2)
它的作用是:
若求有困难,而求
较容易时,可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用。
【例1】求
解:设 ,
,
在进行分部积分时,把被积表达式中的哪一部分取作,
是任意的。但是,如果
与
的选取不恰当,往往使问题变得更复杂。
例如,在上例中,若选择 ,
那么 ,
显然,求 较
更困难。
【例2】求 ,
解:,
,
,
,
所以
这表明:可连续使用分部积分法。
【例3】求
解:设 ,
,
再设 ,
,
(*)
将移到左端,两端同除以2,并加上任意常数 C,得到:
例三的评注:
1、求,使用两次分部积分法得( * )式,又转回到
。表面上看,我们在转圈子,并没有前进,实质上却不然。
若设 ( 是一个未知函数) ,则有
这是一个关于的一元一次方程,问题转化为求此方程的解。很明显,我们的确把问题的解决大大地向前推进了一步,并未落入“怪圈”。
2、怪圈现象在现实中广泛存在
(1)、分部积分怪圈
(2)、罗必达法则怪圈
(3)、图形怪圈
(4)、语义怪圈
理发师:我要为世界上所有不自已刮胡子的人刮胡子,
但不为世界上所有自己刮胡子的人刮胡子。
某 人:请问,你为自己刮胡子吗?
实际解题中,往往是第一、第二换元法与分部积分法揉合在一起使用;而且在分部积分法使用熟练之后,不必设出与
,只要记在心中即可。
【例4】求
解:令 ,
,
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