线性代数 --- 如何学好线性代数？（转载）

线性代数是美国数学教授哈尔莫斯 (Paul R. Halmos) 的专长，他在26岁时出版了一本经典教材《有限维向量空间》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈尔莫斯于回忆录《我要做数学家》(I Want to Be a Mathematician) 谈到他第一次学习线性代数的悲惨遭遇：

代数课很难，我读得很生气。…当我说生气，我是真的生气。Brahana 不知道如何说清楚，我们的教材是 Bôcher 的书 (我认为写得一团糟)，我花在这个科目的多数时间里，我的情绪恼火到愤怒。…不知怎么的，我的线性代数导论最后幸存下来。过了四、五年，在我取得博士学位，听了诺伊曼 (von Neumann) 讲的算子理论后，我才真正开始明白这个科目到底在讲甚么。

为甚么线性代数这么难？从哈尔莫斯说的这段话可以归结两个原因：第一是老师很烂，第二是课本很糟。如果学习一门科目的两个重要 (必要？) 条件不是烂就是糟，我们还能冀望学好它吗？不过话说回来，即使哈尔莫斯的线性代数启蒙老师是数学大师诺伊曼，哈尔莫斯未必当下就能真正明白线性代数在讲什么。我说的真正明白不是指考试拿高分，而是有一天你在洗澡时豁然开悟，奔出浴室光着身子在马路上边跑边叫：「啊哈！我明白了！」（这是整篇文章中我最喜欢的一句话，也是我最认可的一句话。---松下J27注）

老实讲，我不认为有哪个老师或哪本教科书可以让学生「第一次学线代就上手」。真正全面性的理解线性代数需要时间，需要勤奋练习与坚持思考。

客观上，线性代数之所以不容易学好的主要原因在于这个科目是由许多「人造的概念」架构而成的理论，而且它们经常以公设化的形式出现：定义─定理─证明 (其实近代数学基本上都是这样)。美国作家梭罗 (Henry David Thoreau) 说：「任何傻瓜订个规则，就有笨蛋在意它。」数学家制定这些定义与公设的背后当然有其动机与目的 (数学家们又不是傻瓜)，但在老师与课本都只字不提的情况下，基于甚么信念我们要接受这套几乎与日常生活经验无关的理论？(我们也不是笨蛋，对吧？)

人们不可能理解毫无动机的定义与缺少目的的定理。俄国数学家阿诺尔德 (Vladimir Arnold) 在〈论数学教育〉说：

理解乘法交换律的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个数组里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。

遗憾的是，理解线性代数的核心观念与内容没有甚么唯一可能的方式，把物理和现实世界拉进来常常也起不了多少作用。许多学生暗地隐藏心中的困惑与怀疑，继续伪装成线性代数爱好者的一个现实原因是他们听别人说：「线性代数是一门应用广泛的重要基础课目」，于是怀抱着一丝盼望，期待有朝一日经过苦痛学来的线性代数终会发光发热。这些学生至少还留下一点火种，另外一批学生或早或晚将放弃线性代数，从此对任何与矩阵运算有关的学科敬而远之。美国计算器科学教授鲍许 (Randy Pausch) 在〈最后一课〉(The Last Lecture) 说：「人生路上有阻挡你梦想的砖墙，那是有原因的。这些砖墙让我们来证明我们究竟有多么想要得到我们所想要的。」线性代数是一道砖墙，接下来我要讲的话是给那些想翻越这道砖墙的人听的。

英国数学家哈代 (G. H. Hardy) 说：「数学家的模式，如画家或诗人的模式一定是美丽的；数学家的想法，如色彩或文字必须以和谐的方式结合在一起。美是首要的试金石：丑陋的数学不可能永存。」线性代数是一个优美凝炼的数学分支。线性代数像是巴赫 (J. S. Bach) 的〈无伴奏大提琴组曲〉，巴赫在这里构建了一种循序渐进和连贯统一的风格，每首组曲在结构上都按照严格的曲式谱成。而在音乐发展的过程中，每个乐章之间的内在联系更是交响曲的先声。线性代数的结构是向量空间，曲式是线性变换。线性代数的乐章有矩阵代数、正交、行列式、特征值与特征向量，以及二次型等。研习线性代数与演奏〈无伴奏大提琴组曲〉同样都需要有效的学习方法。

回到标题，如何学好线性代数？哈尔莫斯从不知道线性代数到底在讲甚么，短短几年变身为一代宗师，他是怎么办到的？哈尔莫斯公开了他的数学学习秘籍：

别只是读；跟它对抗！问你自己的问题，找你自己的例子，发现你自己的证明。这个假设是必要的吗？反向命题成立吗？经典的特例有哪些情况？退化时会怎么样？证明在何处使用了假设？

在〈无伴奏大提琴组曲〉中，有些乐章 (如 Sarabande) 的音乐性格和内容与其他乐章明显不同。在线性代数中，两个数学对象常具有某种相异的性质却又有一些相同的性质。譬如，在一般情况下，两个同阶方阵和不满足乘法交换律，，但是 det(AB)=det(BA)。读了课本的证明，你可能依然困惑。哈尔莫斯鼓励我们提出「蠢问题」。譬如，det(AB) 和 det(BA) 的几何意义是甚么？AB 与 BA 是否拥有其他的基本不变量使得行列式不改变？继续推广，三个同阶方阵 A,B,C 的乘积 ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA 除了行列式不变，是否还有其他相同的性质？一般来说，无论老师或课本都不会主动地回答我们的「蠢问题」。教师常以「世界上没有愚蠢的问题，只有愚蠢的答案」呼吁学生发问，但绝少学生愿意公开提出他们心中的「蠢问题」。吊诡的是，回答「蠢问题」偏偏是研习线性代数的一个极为有效的途径。

(全文完)

作者 --- 松下J27

古诗词赏析：

《登鹳雀楼》

王之涣

白日依山尽，黄河入海流。
欲穷千里目，更上一层楼。

鸣谢（参考文献）：

1，如何學好線性代數？ | 線代啟示錄線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長，他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯於回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇[1]：代數課很難，我讀得很生氣。…當我說生氣，我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚，我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟)，我花在這個科目的多數時間裡，我的情緒惱火到憤怒。…不知怎麼的，我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年，在我取得博士學位，聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後，我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。為甚麼線性代數這麼難？從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因：第一是老師很爛，第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要？) 條件不是爛就是糟，我們還能冀望學好它嗎？不過話說回來，即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼，哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分，而是有一天你在洗澡時豁然開悟，奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫：「啊哈！我明白了！」老實講，我不認為有哪個老師或哪本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間，需要勤奮練習與堅持思考。客觀上，線性代數之所以不容易學好的主要原因在於這個科目是由許多「人造的概念」架構而成的理論，而且它們經常以公設化的形式出現：定義─定理─證明 (其實近代數學基本上都是這樣)。美國作家梭羅 (Henry David Thoreau) 說[2]：「任何傻瓜訂個規則，就有笨蛋在意它。」數學家制定這些定義與公設的背後當然有其動機與目的 (數學家們又不是傻瓜)，但在老師與課本都隻字不提的情況下，基於甚麼信念我們要接受這套幾乎與日常生活經驗無關的理論？(我們也不是笨蛋，對吧？) 人們不可能理解毫無動機的定義與缺少目的的定理。俄國數學家阿諾爾德 (Vladimir Arnold) 在〈論數學教育〉說[3]：理解乘法交換律的唯一可能的方式，打個比方就是分別按行序和列序來數一個陣列裏士兵的人數，或者說用兩種方式來計算長方形的面積 (見“傻瓜的規則”)。任何試圖只做不與物理和現實世界打交道的數學都屬於宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數學創造視為一項有用的人類活動的美好印象。遺憾的是，理解線性代數的核心觀念與內容沒有甚麼唯一可能的方式，把物理和現實世界拉進來常常也起不了多少作用。許多學生暗地隱藏心中的困惑與懷疑，繼續偽裝成線性代數愛好者的一個現實原因是他們聽別人說：「線性代數是一門應用廣泛的重要基礎課目」，於是懷抱著一絲盼望，期待有朝一日經過苦痛學來的線性代數終會發光發熱 (見“學線性代數有什麼用？”)。這些學生至少還留下一點火種，另外一批學生或早或晚將放棄線性代數，從此對任何與矩陣運算有關的學科敬而遠之。美國計算機科學教授鮑許 (Randy Pausch) 在〈最後一課〉(The Last Lecture) 說[4]：「人生路上有阻擋你夢想的磚牆，那是有原因的。這些磚牆讓我們來證明我們究竟有多麼想要得到我們所想要的。」線性代數是一道磚牆，接下來我要講的話是給那些想翻越這道磚牆的人聽的。英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[5]：「數學家的模式，如畫家或詩人的模式一定是美麗的；數學家的想法，如色彩或文字必須以和諧的方式結合在一起。美是首要的試金石：醜陋的數學不可能永存。」線性代數是一個優美凝鍊的數學分支。線性代數像是巴赫 (J. S. Bach) 的〈無伴奏大提琴組曲〉，巴赫在這裡構建了一種循序漸進和連貫統一的風格，每首組曲在結構上都按照嚴格的曲式譜成。而在音樂發展的過程中，每個樂章之間的內在聯繫更是交響曲的先聲[6]。線性代數的結構是向量空間，曲式是線性變換。線性代數的樂章有矩陣代數、正交、行列式、特徵值與特徵向量，以及二次型等。研習線性代數與演奏〈無伴奏大提琴組曲〉同樣都需要有效的學習方法。…https://ccjou.wordpress.com/2016/02/26/%E5%A6%82%E4%BD%95%E5%AD%B8%E5%A5%BD%E7%B7%9A%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B8%EF%BC%9F/#more-88502

(*配图与本文无关*)

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