蒙泰卡罗模拟应用求解pi近似值

定义

我们又可以称之为统计模拟方法，将所求解的问题同⼀定的概率模型相联系，⽤电⼦计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

我们把需要求解的一个问题放到一个模型中，在模型中找出能近似表示这个值的特征。我们使用大量的随机数（这个随机数不仅仅指一个数，更广泛的指模型中发生的一次随机事件，我们将这个随机事件产生的效果简化为数，这个随机事件在这个模型产生的数值我们用随机数来代替）来模拟这个模型，随机数的数量越多，那么模拟的结果更加精确。

原理

由大数定理可知，当样本容量足够大时，事件的发生频率即为其概率。

布丰投针

一个经典的例子就是布丰投针，用于求解圆周率。

设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。并以此概率来求解pi。

取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
取一根长度为l（l≤a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。
计算针与直线相交的概率，概率公式如下。
p=2lπa=mnp = \frac{2l}{\pi a} = \frac{m}{n} p=πa2l=nm

我们根据相交的次数来求解pi值。

matlab 模拟

我们现在需要将布丰投针这个模型里发生的投针试验简化为数据。

我们每一次投针的不同之处在于针与平行线之间的夹角c，以及针的中心与其最近的平行线的距离a。我们根据这两个值来判断针与线是否相交。

这样我们就找到了每一次投针试验后产生的数据

针与平行线之间的夹角c
针的中心与其最近的平行线的距离a
针与线是否相交，即下面的公式。
x≤l/2∗sin(c)x \le l/2 * sin(c) x≤l/2∗sin(c)

length =  1;% 针的长度
a = 3;  % 平行线距离
n = 5200000;    % 投针试验的次数，n越大求出来的pi越准确
m = 0;    % 用于记录针与平行线相交的次数
x = rand(1, n) * a / 2 ;   % 针的中点和最近的一条平行线的距离
angle = rand(1, n) * pi;    % 针和最近的一条平行线的夹角
for i=1:n if x(i) <= length / 2 * sin(angle (i))     % 判断是否相交m = m + 1; end
end
p = m / n;    % 针和平行线相交出现的频率
predict_pi = (2 * length) / (a * p);
disp(predict_pi)
% 3.1408

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