一、系统校正

1.1 校正

根据生产工艺要求设计一个系统（或环节），加入改善系统性能的装置（环节），这个过程称之为校正。

1.2 校正装置

能够改善系统性能的装置称为校正装置。

1.3 校正目的

使得系统有足够的稳定裕度、良好的系统性能、满意的动态响应、合适的稳态增益以及稳态误差满足指定要求。

1.4 校正思路

改变系统在低频、中频和高频下的频率响应特性，从而呈现不同的性能。如：

系统稳定，动态性能良好，稳态误差太大，要增加低频段增益以减小稳态误差，同时尽可能保证中高频特性不变。
系统稳定，稳态误差合适，动态性能太大，要改变中高频率以改变穿越频率和相位裕度。
系统在某状态下稳定，但抗扰能力不好，应改变高频段，使得其斜率增大。

二、校正指标

谐振峰值： M p = 1 2 ζ 1 − ζ 2 M_p=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} Mp=2ζ1−ζ2 1
谐振频率： ω p = ω n 1 − ζ 2 \omega_p=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} ωp=ωn1−ζ2 ( 0 < ζ < 0.707 ) (0<\zeta<0.707) (0<ζ<0.707)
频带宽：闭环系统频率特性幅值从 M 0 M_0 M0 减小到 0.707 M 0 0.707M_0 0.707M0 之间的频率。

三、校正装置

四、串联校正

串联校正分为串联超前校正和串联滞后校正，我偷个懒，截取以前一些笔记了：

可以看出，之所以叫“超前”、“滞后”，是因为其表现出来的伯德图出现了相移。因此可以利用这一特性改善系统。

五、校正设计

5.1 校正主要目标指标

稳态误差 e s s e_{ss} ess，截止频率 ω c \omega_c ωc，稳定裕度 γ \gamma γ

5.2 校正后开环对数幅频特性的期望形状

低频段增益充分大，保证稳态增益，减小稳态误差（稳态，是时间趋于无穷时候，可以理解为“变化很小的时候”，或“变化趋于稳定的时候”，频率应当为低频）
中频段有足够的频带宽度，最好能够以-20dB/dec穿过横轴，相角裕度尽量接近三四十度左右的样子。
高频段以较大斜率迅速衰减，以削弱噪声的影响。（干扰往往是高频的，比如：尖峰干扰）

5.3 设计步骤

根据稳态要求，确定开环增益 K K K
由 K K K 确定 γ \gamma γ
根据截止频率选择参数
验算

5.4 例子

设单位反馈系统 G ( s ) = 5 s ( s + 1 ) G(s)=\frac{5}{s(s+1)} G(s)=s(s+1)5 ，要求在斜坡信号输入下，稳态误差 e s s ≤ 0.1 e_{ss}\le 0.1 ess≤0.1，校正后截止频率 ω c ′ ≥ 4.4 rad/s \omega_c^{\prime}\ge4.4\space\text{rad/s} ωc′≥4.4 rad/s， γ ′ ≥ π 4 \gamma^{\prime}\ge\frac{\pi}{4} γ′≥4π，试设计无源超前校正网络。

解：
e s s = 1 K = 0.1 ⇒ K = 10 e_{ss}=\frac{1}{K}=0.1\Rightarrow K=10 ess=K1=0.1⇒K=10所以，要使得 e s s ≤ 0.1 e_{ss}\le0.1 ess≤0.1，那么 K ≥ 10 K\ge10 K≥10。
未校正前： G ( j ω ) = 5 j ω ( j ω + 1 ) G(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)} G(jω)=jω(jω+1)5求截止频率： L ( ω ) = 20 lg ⁡ 5 − 20 lg ⁡ ω − 20 lg ⁡ 1 + ω 2 L(\omega)=20\lg5-20\lg\omega-20\lg\sqrt{1+\omega^2} L(ω)=20lg5−20lgω−20lg1+ω2 令 L ( ω ) = 0 ⇒ ω c = 2.127 rad/s L(\omega)=0\Rightarrow\omega_c=2.127\space\text{rad/s} L(ω)=0⇒ωc=2.127 rad/s
那么 γ = π − π / 2 − arctan ⁡ ω c = π / 2 − arctan ⁡ 2.127 = 0.439 \gamma=\pi-\pi/2-\arctan\omega_c=\pi/2-\arctan2.127=0.439 γ=π−π/2−arctanωc=π/2−arctan2.127=0.439由于要提高增益到至少为10，因此校正装置： W ( s ) = 2 ( a T s + 1 ) T s + 1 W(s)=\frac{2(aTs+1)}{Ts+1} W(s)=Ts+12(aTs+1)校正后传递函数为： G ( s ) W ( s ) = 10 ( a T s + 1 ) s ( s + 1 ) ( T s + 1 ) G(s)W(s)=\frac{10(aTs+1)}{s(s+1)(Ts+1)} G(s)W(s)=s(s+1)(Ts+1)10(aTs+1)令 s = j ω s=j\omega s=jω得：
G ( j ω ) W ( j ω ) = 10 ( j a T ω + 1 ) j ω ( j ω + 1 ) ( j T ω + 1 ) G(j\omega)W(j\omega)=\frac{10(jaT\omega+1)}{j\omega(j\omega+1)(jT\omega+1)} G(jω)W(jω)=jω(jω+1)(jTω+1)10(jaTω+1)按题目要求，取 ω c ′ = 4.4 rad/s \omega_c^\prime=4.4\space\text{rad/s} ωc′=4.4 rad/s， γ = π / 4 = 0.7854 \gamma=\pi/4=0.7854 γ=π/4=0.7854，那么：
L ′ ( ω c ′ ) = 20 lg ⁡ 10 − 20 lg ⁡ ω c ′ − 20 lg ⁡ 1 + ω c ′ = − 5.957 rad/s L^\prime(\omega_c^\prime)=20\lg10-20\lg\omega_c^\prime-20\lg\sqrt{1+\omega_c^\prime}=-5.957\space\text{rad/s} L′(ωc′)=20lg10−20lgωc′−20lg1+ωc′ =−5.957 rad/s所以：
10 lg ⁡ a = 5.957 10\lg a=5.957 10lga=5.957解得： a = 3.942 a=3.942 a=3.942。
那么： T = 1 ω c ′ a = 0.114 T=\frac{1}{\omega_c^\prime\sqrt a}=0.114 T=ωc′a 1=0.114
相角裕度： γ ′ = π + arctan ⁡ ( a T ω c ′ ) − π 2 − arctan ⁡ ω c ′ − arctan ⁡ ( T ω c ′ ) = 0.861 \gamma^\prime=\pi+\arctan(aT\omega_c^\prime)-\frac{\pi}{2}-\arctan\omega_c^\prime-\arctan(T\omega_c^\prime)=0.861 γ′=π+arctan(aTωc′)−2π−arctanωc′−arctan(Tωc′)=0.861所以该设计符合要求。
综上所述，串联校正装置的传递函数可以为： W ( s ) = 2 ( 0.4494 s + 1 ) 0.114 s + 1 W(s)=\frac{2(0.4494s+1)}{0.114s+1} W(s)=0.114s+12(0.4494s+1)
上述方法为指定数值计算，如果根据参数范围计算，可以这样：
e s s = 1 K = 0.1 ⇒ K = 10 e_{ss}=\frac{1}{K}=0.1\Rightarrow K=10 ess=K1=0.1⇒K=10所以，要使得 e s s ≤ 0.1 e_{ss}\le0.1 ess≤0.1，那么 K ≥ 10 K\ge10 K≥10。
未校正前： G ( j ω ) = 5 j ω ( j ω + 1 ) G(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)} G(jω)=jω(jω+1)5求截止频率： L ( ω ) = 20 lg ⁡ 5 − 20 lg ⁡ ω − 20 lg ⁡ 1 + ω 2 L(\omega)=20\lg5-20\lg\omega-20\lg\sqrt{1+\omega^2} L(ω)=20lg5−20lgω−20lg1+ω2 令 L ( ω ) = 0 ⇒ ω c = 2.127 rad/s L(\omega)=0\Rightarrow\omega_c=2.127\space\text{rad/s} L(ω)=0⇒ωc=2.127 rad/s
那么 γ = π − π / 2 − arctan ⁡ ω c = π / 2 − arctan ⁡ 2.127 = 0.439 \gamma=\pi-\pi/2-\arctan\omega_c=\pi/2-\arctan2.127=0.439 γ=π−π/2−arctanωc=π/2−arctan2.127=0.439校正装置： W ( s ) = k ( a T s + 1 ) T s + 1 W(s)=\frac{k(aTs+1)}{Ts+1} W(s)=Ts+1k(aTs+1)校正后传递函数为： G ( s ) W ( s ) = 10 ( a T s + 1 ) s ( s + 1 ) ( T s + 1 ) G(s)W(s)=\frac{10(aTs+1)}{s(s+1)(Ts+1)} G(s)W(s)=s(s+1)(Ts+1)10(aTs+1)令 s = j ω s=j\omega s=jω得：
G ( j ω ) W ( j ω ) = 5 k ( j a T ω + 1 ) j ω ( j ω + 1 ) ( j T ω + 1 ) G(j\omega)W(j\omega)=\frac{5k(jaT\omega+1)}{j\omega(j\omega+1)(jT\omega+1)} G(jω)W(jω)=jω(jω+1)(jTω+1)5k(jaTω+1)可以得到第一个约束条件： k ≥ 2 k\ge2 k≥2
求截止频率： 5 k 1 + a 2 T 2 ω c ′ 2 ω c ′ ( 1 + ω c ′ 2 ) ( 1 + T 2 ω c ′ 2 ) = 1 \frac{5k\sqrt{1+a^2T^2{\omega_c^\prime}^2}}{\omega_c^\prime\sqrt{(1+{\omega_c^\prime}^2)(1+T^2{\omega_c^\prime}^2)}}=1 ωc′(1+ωc′2)(1+T2ωc′2) 5k1+a2T2ωc′2 =1解得： ω c ′ ≈ 5 k a {\omega_c^\prime}\approx\sqrt{5ka} ωc′≈5ka
所以第二个约束条件： 5 k a ≥ 19.36 且 a > 1 5ka\ge19.36且a>1 5ka≥19.36且a>1
求相角裕度： γ ′ = π + arctan ⁡ ( a T ω c ′ ) − π 2 − arctan ⁡ ω c ′ − arctan ⁡ ( T ω c ′ ) ≥ π 4 \gamma^\prime=\pi+\arctan(aT\omega_c^\prime)-\frac{\pi}{2}-\arctan\omega_c^\prime-\arctan(T\omega_c^\prime)\ge\frac{\pi}{4} γ′=π+arctan(aTωc′)−2π−arctanωc′−arctan(Tωc′)≥4π整理得： arctan ⁡ ( a − 1 ) T ω c ′ + ( a T ω c ′ − 1 ) ω c ′ 1 + ( a T 2 + a T − T ) ω c ′ 2 ≥ − 0.7854 \arctan\frac{(a-1)T\omega_c^\prime+(aT\omega_c^\prime-1)\omega_c^\prime}{1+(aT^2+aT-T){\omega_c^\prime}^2}\ge-0.7854 arctan1+(aT2+aT−T)ωc′2(a−1)Tωc′+(aTωc′−1)ωc′≥−0.7854所以第三个约束条件： ( a − 1 ) T ω c ′ + ( a T ω c ′ − 1 ) ω c ′ 1 + ( a T 2 + a T − T ) ω c ′ 2 ≥ − 1 \frac{(a-1)T\omega_c^\prime+(aT\omega_c^\prime-1)\omega_c^\prime}{1+(aT^2+aT-T){\omega_c^\prime}^2}\ge-1 1+(aT2+aT−T)ωc′2(a−1)Tωc′+(aTωc′−1)ωc′≥−1
根据约束1，取 k = 2 k=2 k=2，根据约束2，取 a = 2 a=2 a=2，于是 ω c ′ = 4.47 \omega_c^{\prime}=4.47 ωc′=4.47，代入约束条件3，得： 39.9618 T 2 + 64.4127 T − 3.47 ≥ 0 39.9618T^2+64.4127T-3.47\ge0 39.9618T2+64.4127T−3.47≥0 其零点为 T = 0.05218 或 T = − 1.664 T=0.05218或T=-1.664 T=0.05218或T=−1.664（舍），所以取 T = 0.0522 T=0.0522 T=0.0522即可。
综上所述：串联校正装置的传递函数可以为： W ( s ) = 2 ( 0.1044 s + 1 ) 0.0522 s + 1 W(s)=\frac{2(0.1044s+1)}{0.0522s+1} W(s)=0.0522s+12(0.1044s+1)

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