给定N个整数序列{A1,A2,A3,...,An}，求出子序列(例:Ai-Aj,必须是连续的)中的最大值

题目:给定N个整数序列{A1,A2,A3,...,An}，求出子序列(例:Ai-Aj,必须是连续的)中的最大值

下面给出此题的四种解决办法，且时间复杂度依次增加。

方法一

 public int maxSubsequenceSum4(int[] list, int n){int thisSum = 0;//当前子序列和int maxSum = 0;//目前最大子序列和for (int i = 0; i < n; i++){thisSum += list[i];if (thisSum > maxSum){//当发现更大的子序列和时，替换此前的和maxSum = thisSum;}/*当当前子序列和加上一个绝对值大于它的负数时,此子序列变成负数,*此时应当抛弃该子序列，重新以下一个整数为开头寻找下一个子序列.*例如:1,3,-5,4,2,-1,...*显然子序列A1,A2,A3的和为负数,此时应当抛弃A1,A2,A3...(注意:此时maxSum为A1,A2的和)*并以A4...开始寻找下一个合适的子序列**/else if (thisSum < 0){thisSum = 0;}}return maxSum;}

方法二

 int Max3( int A, int B, int C ){ /* 返回3个整数中的最大值 */return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;}int DivideAndConquer(int[] list, int left, int right ){ /* 分治法求list[left]到list[right]的最大子列和 */int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/int LeftBorderSum, RightBorderSum;int center, i;if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */if( list[left] > 0 )  return list[left];else return 0;}/* 下面是"分"的过程 */center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 *//* 递归求得两边子列的最大和 */MaxLeftSum = DivideAndConquer( list, left, center );MaxRightSum = DivideAndConquer( list, center+1, right );/* 下面求跨分界线的最大子列和 */MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */LeftBorderSum += list[i];//子序列为list[center],list[center-1],...if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;} /* 左边扫描结束 */MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */RightBorderSum += list[i];//子序列为list[center+1],list[center+2],...if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )MaxRightBorderSum = RightBorderSum;} /* 右边扫描结束 *//* 下面返回"治"的结果 */return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );}int maxSubsequenceSum3(int[] list, int N ){ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */return DivideAndConquer( list, 0, N-1 );}

同样举例说明方法二

4	-3	5	-2	-1	2	6	-2

以上为八个整数序列，下面用方法二求出八个整数序列的最大子序列
函数执行顺序图如下:

递归先由最后分割到不可再分时，求出分割线两侧数据的值

if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */if( list[left] > 0 )  return list[left];else return 0;}

然后再返回上一层调用函数，求出左右两部分的子序列最大值。注意:分割线两侧数据为起始数据
该方法主要就是以分割线两侧数据为起始数据，两边分散(不中断)求左右子序列的和
最后跨分割线子序列最大值为左侧最大值+右侧最大值(例如:(A1,A2,A3,A4),左侧:A1,A2右侧:A3,A4.假设其左侧最大子序列和为A2,A1,右侧大子序列和为A3,则跨分割线子序列最大值为A1,A2,A3)

/* 下面求跨分界线的最大子列和 */MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */LeftBorderSum += list[i];//子序列为list[center],list[center-1],...if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;} /* 左边扫描结束 */MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */RightBorderSum += list[i];//子序列为list[center+1],list[center+2],...if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )MaxRightBorderSum = RightBorderSum;} /* 右边扫描结束 */

最后返回三个数据的最大值,即最大子序列和

        /* 下面返回"治"的结果 */return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );

方式三

public int maxSubsequenceSum2(int[] list, int n){int thisSum = 0;int maxSum = 0;for (int i = 0; i < n; i++){//循环n次,每次循环表示以Ai为子序列的起始数据thisSum = 0;for (int j = i; j < n; j++){thisSum += list[j];//子序列为Ai,Ai+1,...if (thisSum > maxSum){maxSum = thisSum;}}}return maxSum;}

方法四

时间复杂度T(n)=n³

public int maxSubsequenceSum1(int A[],int n){int thisSum = 0;int maxSum = 0;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = i; j < n; j++){thisSum = 0;for (int k = i; k <= j; k++ ){thisSum += A[k];if (thisSum > maxSum){maxSum = thisSum;}}}}return maxSum;}

代码来自MOOC网浙江大学数据结构课程，本人稍作修改整理以及加上自己的解释

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