Givens旋转与Householder反射

2024-05-20 00:48:35

参考

wiki https://www.wanweibaike.com/wiki-豪斯霍尔德变换
如何理解Householder变换和Givens旋转? - 荆哲的回答 - 知乎https://www.zhihu.com/question/51432776/answer/125819331

Givens旋转矩阵

Gii = cosθ，Gjj = cosθ，Gij = sinθ，Gji = -sinθ，Gkk = 1（k != i,j）

乘积 G(i, j, θ)x 表示向量 x 在 (i,j)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。

旋转：旋转矩阵乘以一个向量，不改变向量的大小，改变向量的方向。

主对旋转：坐标轴不动，向量旋转
被动旋转：坐标轴旋转，向量不动

关注一个名词——数值线性代数

Householder反射矩阵

H将向量x进行镜面反射，得到新的向量Hx

householder的定义

householder的性质

线性变换

线性变换矩阵乘以一个向量，将其变换成另一个向量。
线性变换包括：旋转、缩放、切变、反射、正投影。

超平面

n维欧式空间中，余维度为1的子空间。

3维空间中，householder反射，就是将向量通过一个超平面（二维平面）进行反射。
反射：向量对一个超平面反射
旋转：向量在一个平面内旋转

余维数

W为向量空间V的线性子空间，W在V的余维数为codim(W) = dim(V) - dim(W)

子空间

子空间就是维度小于全空间的部分空间

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