母牛生小牛问题（斐波那契类型）求解原理分析，一篇搞定所有类似问题

2024-06-10 19:21:11

题目描述

母牛每年生一只母牛，新出生的母牛成长三年后也能每年生一只母牛，假设牛不会死，求N年后，母牛的数量？

思路分析

这种递推的题目，如果拿到时暂时无法分析具体是怎样增加的，可以有一个万能方法，那就是，列举出前几项，然后找规律。这种题目，既然能出，肯定是有规律的。
年份：1 2 3 4 5 6
数量：1 2 3 4 6 9
从列举出的前六年，可以推算出，规律就是，第四年后的每一年，都是n-1年加上n-3年的和。
因此f(n)=f(n-1)+f(n-3)
找到了规律，我们再尝试证明一下，为什么是这样的？
证明：
首先，题目说牛是不会死的，那么，第N年的牛肯定要加上N-1年的牛，所以f(n-1)，这个没问题吧？那么，f(n-3)是什么意思？题目说了，牛成长三年后，能生小牛，那也就是说，三年前的牛，在今年，是不是全部都能生小牛呢？因此，今年新生牛的数量，是不是就是f(n-3)？

递归代码

有了递推公式，那么，递归代码就非常容易了。

    public static int getCowNum(int n){if(n<4){return n;}return getCowNum(n-1)+getCowNum(n-3);}

思路拓展

如果将这道题，改成新生的小牛出生后两年能再生小牛，那么这道题是不是就变成斐波那契数列了？f(n)=f(n-1)+f(n-2)

再改一下，如果是k年后能再生小牛呢？
是不是就变成了f(n)=f(n-1)+f(n-k)了呢？

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