全期望值定理与全方差定理

2024-05-13 06:15:54

全期望值定理（law of total expectation）比较熟悉，竟然还有个全方差定理（law of total variance），关于条件期望与条件方差的，总结一下。

1. 全期望值定理

随机变量 X X X 关于另外一个随机变量 Y Y Y 的条件方差的期望的期望等于该随机变量 X X X 的期望

E ( X ) = E Y [ E ( X ∣ Y ) ] E(X)=E_Y[E(X|Y)] E(X)=EY[E(X∣Y)]

2. 全方差定理

这个就稍微有点复杂了

V a r ( X ) = E Y ( V a r ( Y ∣ X ) ) + V a r Y ( E ( Y ∣ X ) ) Var(X)=E_Y(Var(Y|X))+Var_Y(E(Y|X)) Var(X)=EY(Var(Y∣X))+VarY(E(Y∣X))

证明：
先把方差表示成期望形式，利用全期望值定理，然后将第一项期望值展开，最后把后两项期望值结合
V a r ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = E Y [ E ( X 2 ∣ Y ) ] − { E Y [ E ( X ∣ Y ) ] } 2 = E Y [ V a r ( X ∣ Y ) + E 2 ( X ∣ Y ) ] − { E Y [ E ( X ∣ Y ) ] } 2 = E Y [ V a r ( X ∣ Y ) + E Y [ E 2 ( X ∣ Y ) ] − { E Y [ E ( X ∣ Y ) ] } 2 = E Y ( V a r ( X ∣ Y ) ) + V a r Y ( E ( X ∣ Y ) ) \begin{aligned} Var(X)=&E(X^2)-E^2(X)\\ =&E_Y[E(X^2|Y)]-\{E_Y[E(X|Y)]\}^2\\ =&E_Y[Var(X|Y)+E^2(X|Y)]-\{E_Y[E(X|Y)]\}^2\\ =&E_Y[Var(X|Y)+E_Y[E^2(X|Y)]-\{E_Y[E(X|Y)]\}^2\\ =&E_Y(Var(X|Y))+Var_Y(E(X|Y)) \end{aligned} Var(X)=====E(X2)−E2(X)EY[E(X2∣Y)]−{EY[E(X∣Y)]}2EY[Var(X∣Y)+E2(X∣Y)]−{EY[E(X∣Y)]}2EY[Var(X∣Y)+EY[E2(X∣Y)]−{EY[E(X∣Y)]}2EY(Var(X∣Y))+VarY(E(X∣Y))

要能看出最后两项其实是 E ( X ∣ Y ) E(X|Y) E(X∣Y) 在 Y Y Y 上的方差。 □ \square □

发现之前写了一篇类似的博客：关于条件方差的一个性质
这篇博客比那篇更加严谨点

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