【Leetcode】416. 分割等和子集

题目链接：分割等和子集

题目描述：给你一个 只包含正整数 的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

思路：将数组分割成两个等和的子集。

那么：

1）数组元素的和肯定得是偶数，并且数组长度必须大于1。且数组最大值不能大于数组和的一半

2）问题转换为：数组中是否存在若干个元素，其和为数组所有元素和的一半。即寻找若干元素的和为target。

本来的思路是：将元素排序，然后使用回溯的方法，通过了100多个样例。剩下几个样例错误，经过反复思考和尝试发现回溯的方法并不对。

于是看了题解，恍然大悟。

0-1背包问题：

有n个物体和一个背包，将n个物体中的若干个物体放入背包。每个物体只能放1次，即每个物体都是要么放，要么不放。

对应这道题就是，n个物体中选若干个放入一个大小为target的背包，能否刚好装满。

定义一个数组dp[n][target+1]，dp[i][j]表示能否从前[0,i]个数中选取若干个使其和刚好为j。最终dp[n-1][target]即为所求。采用了动态规划的思想。

因为每一个物体都可放可不放，所以就有了分类讨论，即得到状态转移方程。

如果j==nums[i]，则只放第i个物体即可，即dp[i][j]=true，

如果j<nums[i]，则第 i个物体不能放入大小为j的背包里，只能从前[0,i-1]个物体中去取，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。

如果j>nums[i]，那么第i个物体可以放入大小为j的背包里，也可以选择不放。即dp[i][j]=dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i]]

边界条件是：第一列全为false，第一行只有nums[0]对应的值为true。

js代码如下：

var canPartition = function (nums) {const length = nums.length;if (length == 1)return false;let sum = 0;let max=0;for (let num of nums) {sum += num;max=Math.max(max,num);}const target=sum/2;if (sum % 2 == 1)return false;if(max>target)return false;let dp=new Array(length);for(let i=0;i<length;i++){dp[i]=new Array(target+1).fill(false);}dp[0][nums[0]]=true;for(let i=1;i<length;i++){for(let j=1;j<=target;j++){if(j===nums[i])dp[i][j]=true;else if(j<nums[i])dp[i][j]=dp[i-1][j];elsedp[i][j]=dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i]];}}return dp[length-1][target];
};

时间复杂度：O(n target)，空间复杂度O(n target)

由状态转移方程可知，dp的每一行只和其上一行的数据有关，所以没有必要维护一个二维数组，用一维数组即可。

即dp[j]=dp[j] || dp[j-nums[i]]，这里dp[j]和dp[j-nums[i]]都应该是更新之前的数据，所以在对j进行遍历时，应该从后往前，这样保证用到的dp[j-nums[i]]是没有更新过的。若是从前往后，则后面用到dp[j-nums[i]]就是更新过的，导致结果出错。若是从前往后遍历，也可以把dp[j-nums[i]]暂存起来。

js代码如下：

var canPartition = function (nums) {const length = nums.length;if (length == 1)return false;let sum = 0;let max = 0;for (let num of nums) {sum += num;max = Math.max(max, num);}const target = sum / 2;if (sum % 2 == 1)return false;if (max > target)return false;// 一维数组也可以let dp = new Array(target + 1).fill(false);dp[nums[0]] = true;dp[0] = true;for (let i = 1; i < length; i++) {// debuggerfor (let j = target; j >= nums[i]; j--) {dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];}}return dp[target];
};

时间复杂度：O(n target)，空间复杂度O(target)

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