强化学习基础-蒙特卡洛(Monte Carlo)

在接触强化学习过程中，大家可能在很多场合听说蒙特卡洛这个词，例如Monte Carlo Tree Search，Monte Carlo CFR。实际即便在策略梯度(Policy Gradients)算法中也使用了蒙特卡洛方法，本文将介绍Monte Carlo算法和在强化学习中的应用。

基本概念

Monte Carlo方法源于20世纪40年代，由冯.诺依曼，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆在核武器研究过程中提出。和许多以作者名字(如拉格朗日定理，柯西定理)命名不同，Monte-Carlo其实并不是某位学者名字，实际上是一座位于摩洛哥的赌场。统计和概率学经常会将概率和博彩联系在一起，或许某天也会出现澳门葡京方法/定理

Monte Carlo本质上是一种统计学方法，这类方法通过随机抽样，根据随机事件出现的频率来估算随机变量的特征

大家小时候都学过撒豆子估算不规则图形的面积，使用一个规则图形包裹不规则图形，然后将一定数量的豆子均匀的洒向这个图形，通过计算不规则图形中豆子比例和规则形状的面积，即可以估算出不规则形状的面积。随着计算机技术产生，撒豆子被随机数替代，这一类方法也被各个领域广泛使用。

如果我们并不知道圆形面积计算公式，假设圆形半径为1，我们使用变长为2的正方形包裹这个圆形，然后均匀采样，随着样点数量的增加，圆形面积将越来越接近理论值

from math import sqrt, pi
from random import uniform# 正方形边长和面积
side_length = 2.0
square_area = side_length * side_length
# 圆形半径
radius = side_length / 2def in_circle(x, y):return sqrt(x * x + y * y) < radiusnum_sample = 10000000
num_in_circle = 0
for i in range(num_sample):x = uniform(-1, 1)y = uniform(-1, 1)num_in_circle += in_circle(x, y)# 落入圆形的样点个数
ratio = num_in_circle / num_sample
# 圆形面积
circle_area = ratio * square_area
print('circle area: {}, theory area: {}'.format(circle_area, pi * radius * radius))

执行结果

circle area: 3.1413452, theory area: 3.141592653589793

强化学习中的应用

基础应用

在深度学习和强化学习领域中，许多算法实际上使用了Monte-Carlo方法，并没有给它冠名。这些算法如此基础，我们经常会忽略它的存在。

例如由于计算资源受限，深度学习把一个批次样本的梯度作为整体梯度的估计，来更新模型的权重，同时通过多次采样(迭代次数，或者step数)修正偏差。

经典的强化学习算法中，无论Q-Learning还是Policy Gradient算法中，都需要估算累计收益，例如多步TD Target

Monte-Carlo Tree Search

蒙特卡洛树搜索包含两层含义，首先它是一种树搜索方法，和深度优先、广度优先搜索算法类似，它需要对树进行遍历。其次蒙特卡洛强调了它并不是一种确定性的搜索算法，而是通过启发式的方式，让树向着最优解方向生长，降低搜索空间，实现了类似剪枝的功能。

具体流程如下：

选择(Selection): 从根节点开始，通过UCT(Upper Confidence Bounds to Trees)方法向下直至选择出一个叶子节点。UCT方法对每个节点进行打分，通常包含利用-探索两个分量。利用分量源于先验知识，例如之前仿真的结果，有时也会包含神经网络给出的评分；探索分量一般和这个节点的访问次数有关，如果节点访问的越少，则探索分量的值越大。
扩展(Expansion)：选择结束之后，我们得到一个叶子节点。当叶子节点已经被充分评估时，会在这个节点基础上拓展出一个新的叶子节点。评估是否充分一般以这个叶子节点已经被仿真过多少次来衡量。
仿真(Simulation)：从叶子节点开始游戏，直至游戏结束。
反向传播(Back Propagation)：仿真结束后，我们会得到本次模拟的结果，拿这个结果刷新沿途节点分值。

Monte-Carlo CFR

CFR算法需要对博弈树进行遍历，从而计算某个动作的遗憾值。当博弈树规模非常大时，遍历整棵树的成本非常高，改进的方法：

在单局博弈中，对动作进行剪枝。例如在某个信息集上，所有合法的动作有M个，算法人为的限制它的搜索为N，N的数值还可以随着遍历层级的加深而减少；
作为补充，算法需要增加博弈的次数，尽可能覆盖更多的动作