启发式搜索--八数码问题
八数码问题
问题描述：
八数码问题也称为九宫问题。在3×3的棋盘上摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字，不同棋子上标的数字不相同。棋盘上还有一个空格（数字表为0），与空格相邻的棋子可以移到空格中。
需要解决的问题：给出一个初始状态和一个目标状态，求出从初始状态转变成目标状态的移动棋子的最少步数。
启发式搜索
原理：启发式搜索就是在状态空间中的搜索对每一个搜索的位置进行评估，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到目标。这样可以省略大量无谓的搜索路径，提高了效率。在启发式搜索中，对位置的估价是十分重要的。采用了不同的估价可以有不同的效果。
估价函数：
f∗(n)=h∗(n)+g∗(n)f^*(n) = h^*(n) + g^*(n) f∗(n)=h∗(n)+g∗(n)
其中，在任意节点nnn上定义，g∗(n)g^*(n)g∗(n)为从初始节点SSS到节点nnn的代价；h∗(n)h^*(n)h∗(n)为从节点nnn到目标节点EEE的代价；则f∗(n)f^*(n)f∗(n)定义为从初始节点S经过节点nnn到达目标节点EEE的最佳路径代价。
定义f∗(n)f^*(n)f∗(n) 的估计函数f(n)f(n)f(n)： f(n)=h(n)+g(n)f(n) = h(n) + g(n)f(n)=h(n)+g(n)
其中，g(n)g(n)g(n)是 g∗(n)g^*(n)g∗(n)的估计函数，f(n)f(n)f(n)是f∗(n)f^*(n)f∗(n)的估计函数。这样定义的估价函数为A算A算A算法启发式AAA算法：
- 将初始节S点放入OPEN表，计算其f(S)f(S)f(S)。
- OPEN表为空搜索失败，退出。
- 从OPEN表中选择一个fff值最小的节点iii。如果该节点为目标节点，则搜索成功退出。
- 把节点iii从OPEN表中移除，放入CLOSE的已扩展节点表中。
- 扩展节点iii，生成所有后继节点。对于每个后继节点jjj（进行父子节点连接）：
计算f(j)f(j)f(j)；如果jjj即不在OPEN也不在CLOSE中，这把节点jjj放入OPEN表中；如果jjj已在OPEN或CLOSE表中，则比较新旧节点的fff值，如果新节点的值更小，则：- 以新节点替代旧节点
- 如果旧节点在CLOSE表中，则将其移回OPEN表中
- 退回第2步进行循环
在AAA算法中，当所有节点对于nnn，0<=h(n)<=h∗(n)0<=h(n)<=h^*(n)0<=h(n)<=h∗(n)时（保证了算法的可采纳性），AAA算法成为A∗A^*A∗算法。
使用A*算法解决八数码问题
代码实现时，笔者用State类表示搜索状态，数位digits用长度为9的一维列表表示。g(n)g(n)g(n)为运行深度，h(n)h(n)h(n)为可变函数（可以类外更改）。A∗A^*A∗算法按照算法描述实现。（代码可进一步优化，例如找最小fff值时，笔者偷懒 采用扫描查找，可以通过后续扩展节点插入OPEN表时采用二分插入排序的方法进行优化）
代码中提供了两个可使用的h(n)h(n)h(n)函数（默认恒为0，原算法即为BFS搜索），其中第一个函数的代价定义为每一位数码与其目标位置之间的距离的总和；第二个函数的代价定义为数码错放的数量。
八数码的可解性问题，详细证明自行搜索，这里直接提供结论：把数字排列组成数列，如果初始状态和目标状态的数列的逆序数的奇偶性相同，则可由初始状态移动至目标状态，反之不可。
多说无益， 上代码
代码写的垃圾，勿喷
# 状态类
class State:# h(n) 将付出的代价h = lambda self: 0def __init__(self, digits, depth, pa):# 数位self.digits = digits# 父状态self.pa = pa# 深度 g(n)已付出的代价self.depth = depth# 估价函数self.f = self.__f()# 交换zero位和next位的数def get_digits(self, zero, next):digits = list(self.digits)digits[zero] = digits[next]digits[next] = 0return digits# 获取可移动的下一个digitsdef next_digits(self):zero = [i for i, v in enumerate(self.digits) if v == 0][0]if int(zero / 3) != 0:yield self.get_digits(zero, zero-3)if int(zero / 3) != 2:yield self.get_digits(zero, zero+3)if zero % 3 != 0:yield self.get_digits(zero, zero-1)if zero % 3 != 2:yield self.get_digits(zero, zero+1)# 获取下一个可转换状态（父状态不在内）def next_state(self):for d in self.next_digits():if not self.pa or d != self.pa.digits:yield State(d, self.depth + 1, self)# 计算估价函数f(n) = g(n) + h(n)def __f(self):return self.depth + State.h(self) * 2# 更换h(x)@staticmethoddef change_h(h):State.h = hpassdef __eq__(self, other):return self.digits == other.digitsdef __str__(self):res = 'depth = %d, f(x) = %d\n' % (self.depth, self.f)for i in range(3):res += str(self.digits[i*3: (i+1)*3]) + '\n'return resclass EightDigits:def __init__(self, s, e = [1, 2, 3, 8, 0, 4, 7, 6, 5]):# 初始状态self.s = State(s, 0, None)# 目标状态self.e = eself.open = []self.close = []self.open.append(self.s)# 判断奇偶排列def isOdd(self, digits):num = 0for i in range(9):if digits[i] == 0:continuefor j in range(i + 1, 9):if digits[j] == 0:continueif digits[i] > digits[j]:num += 1return num % 2 == 1# A*算法def A(self):# 判断可不可解if self.isOdd(self.s.digits) != self.isOdd(self.e):return Nonenum = 0while self.open:front = min(self.open, key=lambda x: x.f)self.open.remove(front)num += 1print(front)if front.digits == self.e:# 搜索次数print("-" * 10 + str(num) + "-" * 10 + '\n')return frontself.close.append(front)for next in front.next_state():if next in self.open:for i, o in enumerate(self.open):if next == o:if next.f < o.f:self.open[i] = nextbreakelif next in self.close:for c in self.close:if next == c:if next.f < c.f:self.close.remove(c)self.open.append(next)breakelse:self.open.append(next)return None@staticmethoddef show(state):if state.pa:EightDigits.show(state.pa)print(state)# h函数1 代价为所有数恢复原有状态所移动距离的代价总和
def p(s):e = [1, 2, 3, 8, 0, 4, 7, 6, 5]digits = s.digitsres = 0for i in range(9):for j, v in enumerate(digits):if v == e[i]:t = abs(i - j)res += int(t / 3) + t % 3breakreturn res# h函数2 代价为不在正确位置的数的数量
def w(s):e = [1, 2, 3, 8, 0, 4, 7, 6, 5]digits = s.digitsreturn len([i for i in range(9) if e[i] != digits[i]])if __name__ == '__main__':State.change_h(p) # 采用h函数1eight_digits = EightDigits([2, 1, 3, 0, 8, 7, 4, 6, 5])state = eight_digits.A()if not state:print('初始状态无法移动至目标状态')else:EightDigits.show(state)
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