关于的无穷级数的一点总结

现在从接触无穷级数到现在一共差不多2个星期了，一直没有很正视他，但是今天做题的时候突然发现自己在这个方面还有很多不懂的地方。为了完成作业，我看了会相关资料，现在将我的一点收获在这里总结一下。

（我现在只学到到了正向级数和交错级数）

级数就是无穷项之和，正向级数指的是每一项都为正数的级数，交错级数为级数里存在符号差异的级数。

关于级数，我们有几个要关注的地方，一个是收敛性，另外一个就是如果收敛那么到底是绝对收敛还是条件收敛。

收敛表明当级数的部分和（即级数的前n项和，一般用Sn表示）的n趋向于无穷时，部分和趋向于一个固定的数。发散就与之相对。由此我们可以得到一个收敛级数的必要条件，就是当n趋向于无穷时，Un（级数的第n项）趋向于0，这一点很好理解，不做赘述。（我们在判断一个级数的收敛性的时候，这一步往往是第一步）。

关于收购连级数还有一个重要性质，就是将收敛级数的各项按照一定规则组合起来，得到的新级数仍然收敛（例如将∑1/n^2的每一个奇数项和其后的偶数项相加作为新级数的一项）（同时注意反过来不一定成立，比如∑（-1）^n）。这个性质往往可以被利用来证明一个技术发散。

关对于正项级数的收敛性判断主要有一下5个方法

1比较判别法

0<Un<Vn 当∑Un发散的时候∑Vn 发散

当∑Vn收敛时Un收敛

这个性质也很容易想象，同时这个也是一个很常用的方法。我们在做题的时候需要要得到一个正项级数的收敛性的时候要多考虑一下这个方法，当需要证明一个级数发散的时候，就将该级数的每一项缩小并讨论这个新级数（最好能得到一个递归式比如Un 单调增加（且大于0）级数每一项为（Un+1 - Un）/Un，那么把每一项的分母换为U1），当需要证明一个级数收敛的时候，我们就将每一项放大并讨论新级数。

合理的使用比较判别法能很大程度上简化过程。

2比值判别法（又叫达兰贝尔判别法）

Lim（Un+1/Un）n趋向于无穷，当结果大于1时，级数发散，当结果小于1时，级数收敛，当结果等于1时，这种方法失效，这种方法可以看作是根据结果将该级数和一个等比数列进行比较。

3根号判别法（又叫柯西判别法）

lim√Un 当n趋向于无穷时如果结果大于1 级数发散结果小于1时级数收敛当结果等于1时，这种方法失效，这个方法的具体证明过程我还不知道，这里就不装大头了。

（2，3这两个方法是比较常用的方法，3比2适用范围更广）

4函数判别法

当级数的每一项可以组成一个单调递减的数列，那么几个将级数化作一个函数（如∑1/n等价于 ∫Ln x）。

5（忘记名字了，还是叫他比较判别法把）

LIM Un/Vn 将两个正项级数各项相除，当N趋向于无穷的时候，如果结果大于等于0 时，Vn收敛则Un收敛

如果结果大于0，Vn发散，Un也发散

这个也保证了正项级数可以使用等价无穷小/大进行替换操作。

接下来谈绝对收敛和条件收敛的概念

当∑Un收敛∑|Un|也收敛，那么级数绝对收敛 ∑Un收敛∑|Un|发散，那么级数发散

同时当∑|Un|收敛的时候∑Un必定收敛可以证明，即这样可以直接得到级数绝对收敛

同时绝对收敛+绝对收敛 = 绝对收敛

绝对收敛+条件收敛 = 条件收敛

条件收敛+ 条件收敛 = ？

讨论的绝对收敛和条件收敛的时候，我们要处理的对象一般不是正项级数。但是分析每一项的绝对值的时候就可以用到正项级数的判别方法。

关于交错级数的收敛性的判别方法：如果级数的各项可以表示成（-1）^n An 那么如果满足 An > An-1

同时 lim An n趋向于正无穷的时候结果为0 那么交错级数收敛。

凭借这个性质我们很容易的得到无穷级数 ∑（-1）^n 1/（n）^p 但p>0的时候级数

收敛 <=0的时候级数发散

关于对于可以表示成∑AnBn无穷级数的证明还有 2个比较特别的方法

1 阿贝尔判别法

当级数 ∑An 部分和收敛｛Bn｝单调趋向于 0 级数收敛

2 狄利克莱判别法

当级数∑An 收敛｛Bn｝单调级数收敛

剩下的以后接触到我再进行补充或修正

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