题目

题目概要
有一个长度为 nnn 的数组，初始时每个位置都是 000 。每次操作可以让相邻的两个元素 +1+1+1 和 +2+2+2（可以是左边 +1+1+1，也可以是右边）。问最少需要操作多少次，使得操作后第 iii 个元素不小于阀值 hih_ihi 。

数据范围与提示
n⩽106n\leqslant 10^6n⩽106 且 hi⩽106h_i\leqslant 10^6hi⩽106 。

思路

由于一次操作必然使得总和 +3+3+3，问题变为最小化 “浪费”。为了成全 (i+1)(i{+}1)(i+1) 而牺牲 iii 是不明智的：假设 iii 爆表了，它可以去掉 ⟨1,2⟩\langle 1,2\rangle⟨1,2⟩，或者将 ⟨2,1⟩\langle 2,1\rangle⟨2,1⟩ 换成 ⟨1,2⟩\langle 1,2\rangle⟨1,2⟩ 。因此从左到右扫描，总是只需要将当前数字填满到 hih_ihi 。

普通贪心是，同时让下一个数尽可能小，这样可以避免爆表。但这东西可以隔山打牛：下一个数太小，会导致下下个数过大。

那么只可能是 反悔贪心 嘛。显而易见的反悔方法是，把 ⟨2,1⟩\langle 2,1\rangle⟨2,1⟩ 换成两个 ⟨1,2⟩\langle 1,2\rangle⟨1,2⟩，这可以让下一个数 +3+3+3 。

但我们还要 对 “反悔操作” 进行反悔。考虑其影响：若不使用反悔操作，则下一个数的 +3+3+3 需要用 3×⟨1,2⟩3\times\langle 1,2\rangle3×⟨1,2⟩ 或 ⟨1,2⟩+⟨2,1⟩\langle 1,2\rangle+\langle 2,1\rangle⟨1,2⟩+⟨2,1⟩ 填补，这会使得下下个数 +3+3+3 或 +6+6+6 。也就是说：每撤销一个 +3+3+3 操作，就可以让再下一个数 +3+3+3 一或两次。

除了反悔操作，遵循下一个数尽量小的原则，优先用 ⟨2,1⟩\langle 2,1\rangle⟨2,1⟩ 再用 ⟨1,2⟩\langle 1,2\rangle⟨1,2⟩ 。按上面所说的，⟨2,1⟩\langle 2,1\rangle⟨2,1⟩ 可以带来一次反悔，而 ⟨1,2⟩\langle 1,2\rangle⟨1,2⟩ 不可。

所以就做完了。正确性似乎是显然的——每一步，我们都尽量最小化了 “浪费”，并且给出了反悔的方式。

复杂度 O(n)\mathcal O(n)O(n)，并且代码极其简单。

代码

代码实现的时候，+6+6+6 看成两个 +3+3+3 的机会就行了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
inline int readint(){int a = 0; char c = getchar(), f = 1;for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}int main(){int n = readint();long long ans = 0;int v = 0; // already builtint chance = 0; // how many repent is allowedfor(int i=1; i<=n; ++i){int h = readint(); ans += h;h -= v, v = 0; // what's to doif(h <= 0){ // finishedchance = 0; ans += (-h);continue; // waste -h}int x = min(h/3,chance); // how many +3 is appliedint y = (h-3*x)>>1; // how many <2,1> is appliedv = (((h-3*x)&1)<<1)+y; // if <1,2> is appliedchance = (x<<1)+y; // +3 here can be twice +3 there}ans += v; // build on virtual n+1printf("%lld\n",ans/3);return 0;
}

后记

题解中提到了 “建隐式图”、“正权反悔边” 啥的，估计更精妙，我只是一个朝三暮四的人罢了。

另外，忘掉具体的操作，这一点也很重要。我在考虑反悔 +3+3+3 时，固执地认为，只能有一次 ⟨1,2⟩\langle 1,2\rangle⟨1,2⟩，然后就把自己给绕进去了……反正，用 dp\tt dpdp 的话来说，不是状态定义的量，你管他咧！

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