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介绍

本文比较了几个时间序列模型，以预测SP 500指数的每日实际波动率。基准是SPX日收益系列的ARMA-EGARCH模型。将其与GARCH模型进行比较  。最后，提出了集合预测算法。

假设条件

实际波动率是看不见的，因此我们只能对其进行估算。这也是波动率建模的难点。如果真实值未知，则很难判断预测质量。尽管如此，研究人员为实际波动率开发了估算器。Andersen，Bollerslev Diebold(2008)  和  Barndorff-Nielsen and Shephard(2007)  以及  Shephard and Sheppard(2009)  提出了一类基于高频的波动率(HEAVY)模型，作者认为HEAVY模型给出了  很好的  估计。

假设：HEAVY实现的波动率估算器无偏且有效。

在下文中，将HEAVY估计量作为  观察到的已实现波动率  来确定预测性能。

数据来源SPX每日数据(平仓收益)

SPX盘中高频数据(HEAVY模型估计)

VIX

VIX衍生品(VIX期货)

在本文中，我主要关注前两个。

数据采集

实际波动率估计和每日收益

我实现了Shephard和Sheppard的模型，并估计了SPX的实现量。head(SPXdata)SPX2.rv SPX2.r SPX2.rs SPX2.nobs SPX2.open2000-01-03 0.000157240 -0.010103618 0.000099500 1554 34191.162000-01-04 0.000298147 -0.039292183 0.000254283 1564 34195.042000-01-05 0.000307226 0.001749195 0.000138133 1552 34196.702000-01-06 0.000136238 0.001062120 0.000062000 1561 34191.432000-01-07 0.000092700 0.026022074 0.000024100 1540 34186.142000-01-10 0.000117787 0.010537636 0.000033700 1573 34191.50SPX2.highlow SPX2.highopen SPX2.openprice SPX2.closeprice2000-01-03 0.02718625 0.005937756 1469.25 1454.482000-01-04 0.04052226 0.000000000 1455.22 1399.152000-01-05 -0.02550524 0.009848303 1399.42 1401.872000-01-06 -0.01418039 0.006958070 1402.11 1403.602000-01-07 -0.02806616 0.026126203 1403.45 1440.452000-01-10 -0.01575486 0.015754861 1441.47 1456.74DATE SPX2.rvol2000-01-03 2000-01-03 0.0125395372000-01-04 2000-01-04 0.0172669342000-01-05 2000-01-05 0.0175278642000-01-06 2000-01-06 0.0116721032000-01-07 2000-01-07 0.0096280842000-01-10 2000-01-10 0.010852972

SPXdata$SPX2.rv 是估计的实际方差。 SPXdata$SPX2.r 是每日收益(平仓/平仓)。 SPXdata$SPX2.rvol 是估计的实际波动率

 SPXdata$SPX2.rvol

基准模型：SPX每日收益率建模

ARMA-EGARCH

考虑到在条件方差中具有异方差性的每日收益，GARCH模型可以作为拟合和预测的基准。

首先，收益序列是平稳的。Augmented Dickey-Fuller Testdata: SPXdata$SPX2.rDickey-Fuller = -15.869, Lag order = 16, p-value = 0.01alternative hypothesis: stationary

分布显示出尖峰和厚尾。可以通过缩放的t分布回归分布密度图来近似  。黑线是内核平滑的密度，绿线是缩放的t分布密度。

acf(SPXdata$SPX2.r) ## acf plot

Box-Ljung testdata: SPXdata$SPX2.rX-squared = 26.096, df = 1, p-value = 3.249e-07

自相关图显示了一些星期相关性。Ljung-Box测试确认了序列存在相关性。Series: SPXdata$SPX2.rARIMA(2,0,0) with zero meanCoefficients:ar1 ar2-0.0839 -0.0633s.e. 0.0154 0.0154sigma^2 estimated as 0.0001412: log likelihood=12624.97AIC=-25243.94 AICc=-25243.93 BIC=-25224.92

auro.arima 表示ARIMA(2,0,0)可以对收益序列中的自相关进行建模，而eGARCH(1,1)在波动率建模中很受欢迎。因此，我选择具有t分布误差的ARMA(2,0)-eGARCH(1,1)作为基准模型。*---------------------------------** GARCH Model Spec **---------------------------------*Conditional Variance Dynamics------------------------------------GARCH Model : eGARCH(1,1)Variance Targeting : FALSEConditional Mean Dynamics------------------------------------Mean Model : ARFIMA(2,0,0)Include Mean : TRUEGARCH-in-Mean : FALSEConditional Distribution------------------------------------Distribution : stdIncludes Skew : FALSEIncludes Shape : TRUEIncludes Lambda : FALSE

我用4189个观测值进行了回测(从2000-01-03到2016-10-06)，使用前1000个观测值训练模型，然后每次向前滚动预测一个，然后每5个观测值重新估计模型一次 。下图显示  了样本外  预测和相应的实际波动率。

预测显示与实现波动率高度相关，超过72％。cor(egarch_model$roll.pred$realized_vol, egarch_model$roll.pred$egarch.predicted_vol,method = "spearman")[1] 0.7228007

误差摘要和绘图Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.-0.0223800 -0.0027880 -0.0013160 -0.0009501 0.0003131 0.0477600

平均误差平方(MSE)：[1] 1.351901e-05

改进：实现的GARCH模型和LRD建模

GARCH

realGARCH 该模型由  Hansen，Huang和Shek(2012)  (HHS2012)提出，该模型 使用非对称动力学表示将实现的波动率测度与潜在  真实波动率联系起来。与标准GARCH模型不同，它是收益和已实现波动率度量的联合建模(本文中的HEAVY估计器)。

模型：*---------------------------------** GARCH Model Spec **---------------------------------*Conditional Variance Dynamics------------------------------------GARCH Model : realGARCH(2,1)Variance Targeting : FALSEConditional Mean Dynamics------------------------------------Mean Model : ARFIMA(2,0,0)Include Mean : TRUEGARCH-in-Mean : FALSEConditional Distribution------------------------------------Distribution : normIncludes Skew : FALSEIncludes Shape : FALSEIncludes Lambda : FALSE

滚动预测过程与上述ARMA-EGARCH模型相同。下图显示  了样本外  预测和相应的实现。

预测与实现的相关性超过77％cor(arfima_egarch_model$roll.pred$realized_vol, arfima_egarch_model$roll.pred$arfima_egarch.predicted_vol,method = "spearman")[1] 0.7707991

误差摘要和图：Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.-1.851e-02 -1.665e-03 -4.912e-04 -1.828e-05 9.482e-04 5.462e-02

均方误差(MSE)：[1] 1.18308e-05

备注：用于每日收益序列的ARMA-eGARCH模型和用于实现波动率的ARFIMA-eGARCH模型利用不同的信息源。ARMA-eGARCH模型仅涉及每日收益，而ARFIMA-eGARCH模型基于HEAVY估算器，该估算器是根据日内数据计算得出的。RealGARCH模型将它们结合在一起。

以均方误差衡量，ARFIMA-eGARCH模型的性能略优于realGARCH模型。这可能是由于ARFIMA-eGARCH模型的LRD特性所致。

集成模型

随机森林

现在已经建立了三个预测ARMA egarch_model

realGARCH rgarch model

ARFIMA-eGARCH arfima_egarch_model

尽管这三个预测显示出很高的相关性，但预计模型平均值会减少预测方差，从而提高准确性。使用了随机森林集成。varImpPlot(rf$model)

随机森林由500棵树组成，每棵树随机选择2个预测以适合实际值。下图是拟合和实现。

预测与实现的相关性：[1] 0.840792

均方误差：[1] 1.197388e-05

MSE与已实现波动率方差的比率[1] 0.2983654

备注

涉及已实现量度信息的realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型优于标准的收益系列ARMA-eGARCH模型。与基准相比，随机森林集成的MSE减少了17％以上。

从信息源的角度来看，realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型捕获了日内高频数据中的增量信息(通过模型，HEAVY实现的波动率估算器)

进一步研究：隐含波动率

以上方法不包含隐含波动率数据。隐含波动率是根据SPX欧洲期权计算得出的。自然的看法是将隐含波动率作为预测已实现波动率的预测因子。但是，大量研究表明，无模型的隐含波动率VIX是有偏估计量，不如基于过去实现的波动率的预测有效。Torben G. Andersen，Per Frederiksen和Arne D. Staal(2007)  同意这种观点。他们的工作表明，将隐含波动率引入时间序列分析框架不会带来任何明显的好处。但是，作者指出了隐含波动率中增量信息的可能性，并提出了组合模型。

因此，进一步的发展可能是将时间序列预测和隐含波动率(如果存在)的预测信息相结合的集成模型。