计算方法 6.插值法

需求的由来：

插值法定义：

唯一性：

其实就是一个多元方程组嘛。

这个完全就是数字游戏吧，后面那一项永远是0.

拉格朗日求法：

Ln(x)就是p(x)。里面有yi作为系数，求这样的li应该是什么样。

可以看到，x不等于xi的时候，x总会与某一个xj相等，就会变成零，等于xi的时候就是1。

记的时候可以这样想：每带入一个xi，我只能让一个yi系数为1，那肯定是(x-x0)(x-x1)……（x-xn）(中间没有x-xi)，这样其他的就都是零了，自己还要是1，那就还要再除以（xi-x0）(xi-x1)……，就行了。

那插值的余项怎么说？：

（t-xi）连乘的式子求导到最后是（n+1）!,这个值只和最高次数的t有关，也就是从（n+1）一直乘到1.最后的余项就是拉格朗日余项。

牛顿插值法：

拉格朗日算法增加一个结点的时候每个系数都要改，非常麻烦。

公式看起来很复杂，其实用上面的原式推一下就可以了。

导数的那个推论不晓得怎么整，但你可以通过n=1的情况（就是拉格朗日公式）记忆。我突然想到了一个证明方法，f[x0,……xn]就是Nn(x)最后一项的系数，也就是原式最高项的系数，除以n!就是要把n次求导中产生的乘积去掉，留下的就是最高项的真正系数了。

可以这样计算：

注意：虽然算法不同，但是我们之前讲过大家都是n阶的话那就是唯一的，所以这两种方法算出来的式子是一样的。：

那个wn+1(x)就是（x-x0）……（x-xn），这个x一般都是要在x0和xn之间的。

等距节点公式：

计算很简单，但暂时看不出是拿来干嘛的。

从最开始的式子我们可以算出三角fi=fi+1-fi,三角^2fi=三角fi+1-三角fi=fi+2-2*fi+1+fi,以此类推可以推出上面的公式。(x+h)^n-x^n结果当然是n-1阶多项式，第二行的性质也很简单。f[x0,x1……]公式里的那个k！是没有问题的，每一次分母都会变得大一份，一开始是h,然后是2h，3h……所以有阶乘。

插值多项式的收敛与稳定：

稳定性：

分段插值：

最后那个结论使用Rn(x)=f(n+1)(c)/(n+1)! *w(x)推出来的，就是一开始的那个余项公式。

函数逼近：

最佳平方逼近：

递推公式确定，那正交多项式也就唯一了。这里解释一下什么叫正交：

<>是内积（也就是向量直接用坐标相乘）的意思。

这个方法就是把多项式看作向量。这里手写推一下：

接下来就是以此类推，(xi,xj)不是内积神似内积。

接下来介绍几种常见的正交多项式：

这个其实就是刚刚的那个例子，但是有了公式，而且没有要求首项系数为1。

切比雪夫多项式：

判断函数族线性无关：

最佳平方逼近：

这个平方逼近就是要差值最小，平方是为了体现绝对值。

先来考虑连续函数：

对a（也就是那些系数）求导，然后就求出了这个罪孽深重的东西。

那之前讲的正交基地是干嘛的？就是这里用的，正交基地只有对角线上的元素是有数字的，其他的都是0，方程就很好解：

-1到1正好和拉格朗日相符，可以直接用他的基地，这样就有现成的正交方程，不用解复杂的方程组了。

曲线拟合的最小二乘逼近：

注意注意，之前是求积分，现在是求和，（）的含义也从积分变成了求和，m个和的原因是点给了m个。（应该是从1加起，可能是打错了）

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