数学分析教程史济怀练习6.5

练习题

1

直接找上下界当他的q(x)和p(x)q(x)和p(x)q(x)和p(x)就好了。
lim∣π∣→0∑i=0nmiΔxi<=lim∣π∣→0∑i=0nf(ξi)Δxi<=lim∣π∣→0∑i=0nMiΔxi∴p(x)=mi,x∈[xi−1,xi),q(x)=Mi,x∈[xi−1,xi)lim_{|\pi| \rightarrow 0} \sum_{i = 0}^n m_i \Delta x_i <= lim_{|\pi| \rightarrow 0} \sum_{i = 0}^n f(\xi_i)\Delta x_i <= lim_{|\pi| \rightarrow 0} \sum_{i = 0}^n M_i \Delta x_i \\ \therefore p(x) = m_i, x \in [x_{i-1}, x_i), q(x) = M_i, x \in [x_{i-1}, x_i) lim∣π∣→0i=0∑nmiΔxi<=lim∣π∣→0i=0∑nf(ξi)Δxi<=lim∣π∣→0i=0∑nMiΔxi∴p(x)=mi,x∈[xi−1,xi),q(x)=Mi,x∈[xi−1,xi)

2

这个题目的难点在于，怎么把阶梯函数连起来。连起来之后面积肯定会增大一点，关键就在于要把这个面积限制在ϵ\epsilonϵ即可。
对于[xi−1,xi]和[xi,xi+1],分别有mi−1和mi。如果mi−1<mi，则是上升状态，连接点(xi,mi−1)和(xi+δ1,mi)如果mi−1>mi，则是上升状态，连接点(xi−δ1,mi−1)和(xi,mi)对于[x_{i-1}, x_i]和[x_{i}, x_{i+1}],分别有m_{i-1}和m_i。 \\ 如果m_{i-1} < m_{i}，则是上升状态，连接点(x_i, m_{i-1})和(x_i + \delta_1, m_i) \\ 如果m_{i-1} > m_{i}，则是上升状态，连接点(x_i - \delta_1, m_{i-1})和(x_i, m_i) 对于[xi−1,xi]和[xi,xi+1],分别有mi−1和mi。如果mi−1<mi，则是上升状态，连接点(xi,mi−1)和(xi+δ1,mi)如果mi−1>mi，则是上升状态，连接点(xi−δ1,mi−1)和(xi,mi)
还有别的连接方式，只要保证连接后的积分面积会小一点就好了，因为是下界，如果变大反而有可能覆盖到f(x)f(x)f(x)，这样就不保证是下界了，即超过一点就不是下界。
对于[xi−1,xi]和[xi,xi+1],分别有Mi−1和Mi。如果Mi−1<Mi，则是上升状态，连接点(xi−δ2,Mi−1)和(xi,Mi)如果Mi−1>Mi，则是上升状态，连接点(xi,Mi−1)和(xi+δ2,Mi)对于[x_{i-1}, x_i]和[x_{i}, x_{i+1}],分别有M_{i-1}和M_i。 \\ 如果M_{i-1} < M_{i}，则是上升状态，连接点(x_i - \delta_2, M_{i-1})和(x_i, M_i) \\ 如果M_{i-1} > M_{i}，则是上升状态，连接点(x_i, M_{i-1})和(x_i + \delta_2, M_i) 对于[xi−1,xi]和[xi,xi+1],分别有Mi−1和Mi。如果Mi−1<Mi，则是上升状态，连接点(xi−δ2,Mi−1)和(xi,Mi)如果Mi−1>Mi，则是上升状态，连接点(xi,Mi−1)和(xi+δ2,Mi)
也是一样，只不过有差别，这里是改变后的面积要比原来的q(x)q(x)q(x)的面积∫abq(x)dx\int_{a}^{b} q(x)dx∫abq(x)dx要大一点，否则可能会覆盖到f(x)f(x)f(x)。更改后的q(x)p(x)q(x)p(x)q(x)p(x)称为q′(x)和p′(x)q'(x)和p'(x)q′(x)和p′(x)

画一下图就会发现，对于p(x)p(x)p(x)，也就是下界阶梯函数，会相差12∑i=1n∣mi−mi−1∣δ1\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |m_i - m_{i-1}| \delta_121∑i=1n∣mi−mi−1∣δ1，只要mim_imi和mi−1m_{i-1}mi−1不相等，就会有一个三角形的误差。对于q(x)q(x)q(x)也是一样12∑i=1n∣Mi−Mi−1∣δ2\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |M_i - M_{i-1}| \delta_221∑i=1n∣Mi−Mi−1∣δ2。

根据第一题的q(x)q(x)q(x)和p(x)p(x)p(x)有
∫ab(q‘(x)−p’(x))dx<ϵ+lim∣π∣→012∑i=1n∣Mi−Mi−1∣δ2+12∑i=1n∣mi−mi−1∣δ112∑i=1n∣Mi−Mi−1∣δ2+12∑i=1n∣mi−mi−1∣δ1<12∑i=1n∣Mi−Mi−1∣δ2+12∑i=1n∣mi−mi−1∣δ1<12δ∑i=1n(Mi−mi)+(Mi−1−mi−1),(δ=max(δ1,δ2))<12δ∑i=1n2w<nwδ要求小于ϵ，所以nwδ<ϵ⇒δ<ϵnw,而∣π∣→0也会伴随着1n<ϵ∴δ<ϵ2w∴∫abq′(x)−p′(x)dx<ϵ+ϵ2w右边的这两个ϵ肯定是同等级的无穷小才可以相加，所以ϵ2w的ϵ就是第一个ϵ了\int_{a}^{b} (q‘(x) - p’(x))dx < \epsilon + lim_{|\pi| \rightarrow 0} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |M_i - M_{i-1}| \delta_2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |m_i - m_{i-1}| \delta_1 \\ \begin{aligned} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |M_i - M_{i-1}| \delta_2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |m_i - m_{i-1}| \delta_1 & < \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |M_i - M_{i-1}| \delta_2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n |m_i - m_{i-1}| \delta_1 \\ & < \frac{1}{2} \delta \sum_{i = 1}^{n} (M_i - m_i) + (M_{i-1} - m_{i-1}), (\delta = max(\delta_1, \delta_2)) \\ & < \frac{1}{2} \delta \sum_{i = 1}^{n} 2w \\ & < nw\delta \\ & 要求小于\epsilon，所以nw \delta < \epsilon \Rightarrow \delta < \frac{\epsilon}{nw}, 而|\pi| \rightarrow 0也会伴随着\frac{1}{n} < \epsilon \\ & \therefore \delta < \frac{\epsilon^2}{w} \\ & \therefore \int_{a}^{b} q'(x) - p'(x)dx < \epsilon + \frac{\epsilon^2}{w} \\ & 右边的这两个\epsilon肯定是同等级的无穷小才可以相加，所以 \frac{\epsilon^2}{w}的\epsilon就是第一个\epsilon了 \end{aligned} ∫ab(q‘(x)−p’(x))dx<ϵ+lim∣π∣→021i=1∑n∣Mi−Mi−1∣δ2+21i=1∑n∣mi−mi−1∣δ121i=1∑n∣Mi−Mi−1∣δ2+21i=1∑n∣mi−mi−1∣δ1<21i=1∑n∣Mi−Mi−1∣δ2+21i=1∑n∣mi−mi−1∣δ1<21δi=1∑n(Mi−mi)+(Mi−1−mi−1),(δ=max(δ1,δ2))<21δi=1∑n2w<nwδ要求小于ϵ，所以nwδ<ϵ⇒δ<nwϵ,而∣π∣→0也会伴随着n1<ϵ∴δ<wϵ2∴∫abq′(x)−p′(x)dx<ϵ+wϵ2右边的这两个ϵ肯定是同等级的无穷小才可以相加，所以wϵ2的ϵ就是第一个ϵ了
∴设w<ϵ(振幅)，δ<ϵ2w\therefore 设w < \epsilon(振幅)，\delta < \frac{\epsilon^2}{w}∴设w<ϵ(振幅)，δ<wϵ2
注意在计算多出来的面积的时候是三角形的面积之和，因为p(x)面积是减小，q(x)面积是增大，两个一减就是面积之和。

3

这个题比上一个题目简单多了。首先给了连续，直接上定义。
∀ϵ,∃N>0,x>N,∣f(x)−l∣<ϵ⇒l−ϵ<f(x)<l+ϵ\forall \epsilon, \exist N>0, x > N, |f(x) - l| < \epsilon \Rightarrow l - \epsilon < f(x) < l + \epsilon∀ϵ,∃N>0,x>N,∣f(x)−l∣<ϵ⇒l−ϵ<f(x)<l+ϵ
lim∑i=Nn(l−ϵ)Δxi<lim∑i=Nnf(ξi)Δxi<lim∑i=Nn(l+ϵ)Δxilim \sum_{i = N}^n (l-\epsilon) \Delta x_i < lim \sum_{i=N}^n f(\xi_i) \Delta x_i < lim \sum_{i = N}^n (l+\epsilon) \Delta x_ilim∑i=Nn(l−ϵ)Δxi<lim∑i=Nnf(ξi)Δxi<lim∑i=Nn(l+ϵ)Δxi
而前面的可以看成是常数了∫0xf(t)dt=∫0Nf(t)dt+∫Nxf(t)dt\int_{0}^{x} f(t)dt = \int_{0}^{N} f(t)dt + \int_{N}^x f(t)dt∫0xf(t)dt=∫0Nf(t)dt+∫Nxf(t)dt转换成∫0xf(t)dt=M+∫Nxf(t)dt\int_{0}^{x} f(t)dt = M + \int_{N}^x f(t)dt∫0xf(t)dt=M+∫Nxf(t)dt
上下除一个xxx即可。
M+∑i=Nn(l−ϵ)Δxix<∫0xf(t)dtx<M+∑i=Nn(l+ϵ)ΔxixM+(l−δ)(x−N)x<∫0xf(t)dtx<M+(l+δ)(x−N)x\frac{M + \sum_{i = N}^n (l-\epsilon) \Delta x_i}{x} < \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} < \frac{M + \sum_{i = N}^n (l+\epsilon) \Delta x_i}{x} \\ \frac{M + (l-\delta)(x-N)}{x} < \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} < \frac{M + (l+\delta)(x-N)}{x} xM+∑i=Nn(l−ϵ)Δxi<x∫0xf(t)dt<xM+∑i=Nn(l+ϵ)ΔxixM+(l−δ)(x−N)<x∫0xf(t)dt<xM+(l+δ)(x−N)
然后两边一取极限就好了。

4

注意到题目是任意区间都有supf>=σsup f >= \sigmasupf>=σ，如果一个子区间全是mim_imi，那么mi>=σm_i >= \sigmami>=σ。所以这个σ\sigmaσ是小于等于下界的。
∴原式>I下界>=σ(b−a)\therefore 原式 > I_{下界} >= \sigma(b-a)∴原式>I下界>=σ(b−a)

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