强化学习 解方程 鸡兔同笼
随想：如果用强化学习的方法来求解方程，肯定也是可行的。毕竟强化学习归根结底是一个最优化问题，虽然不能用显示的方程来描述，但强化学习的求解过程与文中提到的迭代方法无异。以目前的算法及机器性能来看，强化可以求解复杂度很高的方程。如果以此来吸引数学家关注这一领域，那么强化将会得到长足发展。
打破线性方程求解速度极限，华人学者新算法获顶会最佳论文奖https://www.163.com/dy/article/G4LC98FF0511DSSR.html。以下为问题简单描述。
求解方程的全新的思路，靠“猜”，这种方法就是：猜测每个未知数的值，把它们代入方程后，查看结果与实际值相差有多大。然后，修正未知数的值，再猜一次。这种方法，在计算机方向上被称为迭代法。彭泱的这种迭代算法，在方程的数量变得极多、且每个方程涉及的未知数较少时，显示出了巨大的优势。也就是说，如果在一个系数矩阵属于“稀疏矩阵”——矩阵本身特别大，但相对地，系数为0的数量又非常多的时候，迭代法就会出现神奇的结果。
此前，没有人能够证明，“迭代法”对于稀疏矩阵而言，是否会比“矩阵乘法”更快。当然，这种算法并不只靠“猜”。彭泱设计的算法中，他们还会在给出多组随机数的同时，将这些随机数组并行计算。这就像是数百个人同时在山林中搜索宝藏，肯定比一个人反复搜索要更快。但这种算法的设计，还面临两个难点：
如何保证设计出来的数，足够随机、不偏向问题的任何一部分？
如何保证设计出来的这些随机数组，全面覆盖每一种可能性？
他们发现，正因为由随机数构造出的矩阵中，项数是随机的、且彼此之间有着某种关联，因此，这一矩阵本身就具有某种对称性。这就意味着，如果知道矩阵中某些具体的数值，就能推断出一整个矩阵的形状。这一发现，使得他们设计的算法，比未考虑矩阵对称性的那些算法，找到解的速度更快。事实证明，这种算法确实能够保证在O(n2.3316)复杂度以内，完成任何计算。这比之前的O(n2.37286)，复杂度降低了不少，可以说是一个巨大的进步。
这一新发现，让彭泱和他的合作者获得了ACM-SIAM离散算法研讨会SODA 2021的最佳论文奖。
为什么要降低计算复杂度？
解一个二元一次方程，也就是2×2的矩阵，靠中学知识就能轻松搞定。然而当n变得越来越大，求解方程的计算量就会以3次方的速度迅速增加。这是什么概念？意味着如果线性问题中，要求解的未知数达到100甚至10000，那么计算量复杂度就会增加1000000、甚至1012倍。目前，机器学习、动力学模拟等问题，都会遇到超大规模线性方程组，如何降低计算复杂度，一直是学者们致力于解决的问题。要是计算复杂度居高不下，对于计算机而言，将会是一个巨大而沉重的负担。因此，数学家们一直在想方设法将线性问题的复杂度弄得更小一点，也就是让O(nω)中的ω变小。哪怕ω减小的量只有0.00001，对于上百万未知数的方程组来说也是一个巨大的进步。通过不断改善矩阵乘法，ω先是从3降低到2.81，历经多次研究后，被MIT和哈佛的数学家们降低到2.37286。然而，到这个阶段，数学家们倾尽全力所设计的新算法，也只是将ω降低了0.00001而已。有数学家进行过预测，ω可以无限接近于2，也就意味着这种线性问题的计算复杂度还能尽力向O(n²)靠拢。因此，彭泱他们的新算法，可以说是将这一研究向前推动了一大步
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