【经典算法】动态规划

斐波那契数列的启发

在讨论动态规划之前，我们先看一个熟悉的例子——斐波那契数列(Fibonacci sequence)：

如果我想求f(3)f(3)f(3)，那我只要知道f(1)f(1)f(1)和f(2)f(2)f(2)就可以了，同理，如果想知道f(4)f(4)f(4)，那我需要知道f(2)f(2)f(2)和f(3)f(3)f(3)。以此类推，如果我想知道f(n)f(n)f(n)，那么只要已知f(1)...f(n−1)f(1)...f(n-1)f(1)...f(n−1)即可。对于像具有像斐波那契数列这样递推关系的问题，都可以用这种方法求解。虽然这样看上去有点笨，却是一个用空间换时间的高效方法，因为这样时间复杂度就能降到O(n)O(n)O(n)，而用递归的方法时间复杂度可能达到O(2n)O(2^n)O(2n)。下面我们看一个例子：

第一个例子

对于数组[a1a2...an][a_1\ a_2 \ ... \ a_n][a1 a2 ... an]，求出不相邻元素的最大和。

将问题具体化，我们求[1 2 4 1 7 8 3]（如下图上列为下标号，下列为元素）的不相邻元素的最大和。从后往前推，arr[6]=3，它的最近不相邻元素的是arr[4]=7。这时有两种可能，一种选arr[6]，则sum=arr[4]+arr[6]，另一种是不选arr[6]，直接看arr[5]和它的不相邻元素。

为了方便描述，我们用函数rec_opt()来描述递归选择的过程，如下图所示。

明显这是一个递归关系，递归的出口是rec_opt(0)=1，rec_opt(1)=max(arr[0],arr[1])。这样我们可以写出递归代码：

static int rec_opt(int[] arr,int i){//i表示开始递归的位置，本例从arr的最后一个元素开始递归if(i==0)return arr[0];if (i==1)return Math.max(arr[1],arr[0]); //选1则返回arr[1]，不选1则返回arr[0]else return Math.max(rec_opt(arr, i-1),rec_opt(arr, i-2)+arr[i]);}

但这样的方法时间复杂度为O(2n)O(2^n)O(2n)，且占用内存大。我们观察递归算法的二叉树形式，会发现上层的rec_opt都是用rec_opt(0)、rec_opt(1)累积出来的。如果我们创建一个数组，记录从rec_opt(0)、rec_opt(1)到rec_opt(i)的所有值，就不用再重复调用rec_opt了。

于是我们可以得出非递归的算法：

static int dp_opt(int[] arr){int []temp= new int[arr.length];temp[0]=arr[0];temp[1]=arr[1];for (int j=2;j<arr.length;j++) {temp[j]=Math.max(temp[j-2]+arr[j],temp[j-1]);}return temp[arr.length-1];}

我们再看另外一个例子：

第二个例子

判断一个序列是否存在和等于s的子列。

设序列为[3,34,4,12,5,23]，s=9。还是按照之前的思路，从最后一个元素开始向前遍历。如23大于9，则跳过，5小于9，则s=s-5=4。当s=0时，说明找到了要找的子列。如果所有都遍历完s还不为0，则没找到。因此我们可以得到如下的递归算法：

static boolean rec_series(int[] arr,int i,int s){if (s==0) {//如果正好没有剩余，则返回truereturn true;}else if (i==0) {//若正好遍历到最后一个，当最后一个就是s时，返回truereturn arr[i]==s;} else if (arr[i]>s) {//如果第i个比s大，只能不选择return rec_series(arr,i-1,s);}else {//上述情况都不存在，可以选择第i个元素，也可以跳到第i-1个元素return rec_series(arr,i-1,s-arr[i]) || rec_series(arr,i-1,s);}}

同样，我们可以借鉴前面的思想，列出如下图所示的二维表，记录rec_series(arr,i,s)的结果。其中第一行是循环开始前初始化的内容。由于后面的结果依赖前面，所以i=5，s=9就是最终的结果。

以下为动态规划的算法：

static boolean dp_series(int[] arr,int s){boolean [][]b=new boolean[arr.length][s];for (int i=0;i<s;i++) {//初始化二维表的第一行if(arr[0]==i) {b[0][i]=true;}}for (int i=1;i<arr.length;i++) {//把递归过程变成查表过程for(int j=0;j<s;j++){if(j==arr[i]){b[i][j]=true;}else if(j<arr[i]) {b[i][j]=b[i-1][j];}else {b[i][j]=b[i-1][j-arr[i]-1];}}}return b[arr.length-1][s-1];}

参考资料

动态规划 (第1讲)
动态规划 (第2讲)