线代基础第二讲—

基础知识结构

求矩阵的逆：

1.定义 2.用伴随矩阵求逆矩阵 3.用初等变换求逆矩阵

这就是读者对矩阵的初步认识——表达系统信息（systematical information)

再看一个矩阵：

重要观点1：矩阵是由若干行（列）向量拼成的——上面那个矩阵可以看作是由三个行向量[1,2,3],[5,7,9]和[2,4,6]组成，也可以看作是由三个列向量[1,6,2]T,[2,7,4]T与[3,9,6]T组成。

重要观点2：矩阵不能运算，但是其若干行（列）向量之间可能存在着某种关系——你是否看到[1,2,3]和[2.4.6]这两个向量是平行的（存在线性关系），而[1,2,3]与[6,7,9]之间不存在这种线性关系，反应矩阵的本质即矩阵的秩，这个秩是2。

行列式必须是方的m*m，但矩阵不是。

二阶子式，任意在行或列中画出两条线，交叉的项形成的新的矩阵。

可以做延伸，2*2变成2*3，仍然线性无关。

1.矩阵的定义

函数相同且列数相同，称为同型矩阵。m=n时，称为方阵。

数乘矩阵保证系统性的比例不变。

转化成行列式要注意，每行提出一个k，需提出n个k。

不满足交换律

error：此处的j1改为1j。

乘法运算的规则：A的列数等于B的行数。

ABABAB不等于AAABBB

AB=0,AC=0,C=0但是B不等于C。

第五点需要memorize

正交规范化公式证明：

将不垂直的两个向量正交化，并转化为标准向量组。

对角矩阵

正交矩阵的行向量组，两两向量正交，向量的模均为1。

（10)矩阵分块

矩阵可乘可加

横着写省纸，所以横着写省纸。

矩阵是方阵，秩如果为1，一定能写成一列乘以一行。

一行乘以一列等于主对角线元素之和（矩阵的迹）。

试算法例题

再来回顾一遍

如何证明一个矩阵是正交矩阵

三，矩阵的逆

A,B必须是方阵

AB的逆矩阵也满足穿脱原则。

（5）prove

四，伴随矩阵

注意伴随矩阵是竖着写的。这样相乘正好等于数量阵。

求元素

的代数余子式

时，要特别注意余子式

前面的符号

代数余子式的两个命题

命题 1 n阶行列式

所以四式为|A|E.

这四种情况下乘积可交换

PROVE:

A变伴随矩阵小窍门：

求可逆矩阵的第三种方法

五，初等变换和初等矩阵

1.初等变换

（1）一个非零常数乘矩阵的某一行（列）

（2）互换矩阵中某两行（列）的位置

（3）将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）

以上三种变换称为矩阵的初等行（列）变换，且分别称为倍乘，互换，倍加初等行（列）变换。

对（3）定理的证明：

初等矩阵的逆还是初等矩阵

左行右列定理

对A和E做相同的初等行变换分别得到E和A的逆。

再次复习求矩阵的逆的三种方法

注意左行右列的底下的序号原则是相反的。

分块矩阵中主对角线和副对角线的逆。

分块矩阵非对角线非零的情况：

副对角线有0：

左乘同行，右乘同列。

主对角线有0：

副对角线元素交换位置后，左乘同行右乘同列。

五，矩阵方程

例一

例二

六，等价矩阵和矩阵的等价标准型

七，矩阵的秩

因为秩的定义是，Am*n，A中任取r行，r列而成的r阶行列式，称为A的r阶子式

若有：1、存在r阶子式不为0

2、任意r+1阶子式都是0，则称A的秩为r

那么，比如有一个5阶方阵，根据定义，如果我要想它的秩是4的话，必须存在一个4阶子式不是0，而且所有5阶子式全是0，可是你都说了，这个5阶方阵可逆，即行列式不等于0，显然是矛盾的。

所以非满秩的方阵，行列为0.

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