为什么导向矢量和噪声子空间正交？

前情提要 ：在DOA估计的传统方法中，子空间类方法通常需要一个非常重要的性质——导向矢量与噪声子空间正交，书上一般都是直接说的结果，在这里证明一下。

证明

接收信号简写

$\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{AS}\tag{1} \\$

源信号自协方差矩阵

$\boldsymbol{R}_s=E\left[ \boldsymbol{S}\left( t \right) \boldsymbol{S}^{\text{H}}\left( t \right) \right]\tag{2} \\$

接收信号自协方差矩阵

$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{A}\left( \theta \right) \boldsymbol{R}_s\boldsymbol{A}^{\text{H}}\left( \theta \right) +{\sigma }^2\boldsymbol{I}\tag{3} \\$

对R做特征分解

$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{U\varSigma U}^{\text{H}}=\sum_{i=1}^M{\lambda _i\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{u}_{i}^{\text{H}}}\tag{4} \\$

按大小特征值分成信号子空间和噪声子空间

$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{U}_{\text{S}}\boldsymbol{\varSigma }_{\text{S}}\boldsymbol{U}_{\text{S}}^{\text{H}}+\boldsymbol{U}_{\text{N}}\boldsymbol{\varSigma }_{\text{N}}\boldsymbol{U}_{\text{N}}^{\text{H}}\tag{5} \\$

默认噪声为白噪声有

$\boldsymbol{\varSigma }_{\text{N}}=\sigma ^2\boldsymbol{I}\tag{6} \\$

对式(3)两边乘以Un有

$\boldsymbol{RU}_{\text{N}}=\boldsymbol{A}\left( \theta \right) \boldsymbol{R}_s\boldsymbol{A}^{\text{H}}\left( \theta \right) \boldsymbol{U}_{\text{N}}+\sigma ^2\boldsymbol{U}_{\text{N}}\tag{7} \\$

对式(5)两边乘以Un有

$\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{RU}_{\text{N}}&=\boldsymbol{U}_{\text{S}}\boldsymbol{\varSigma }_{\text{S}}\boldsymbol{U}_{\text{S}}^{\text{H}}\boldsymbol{U}_{\text{N}}+\boldsymbol{U}_{\text{N}}\boldsymbol{\varSigma }_{\text{N}}\boldsymbol{U}_{\text{N}}^{\text{H}}\boldsymbol{U}_{\text{N}} \\ &=0 + \boldsymbol{U}_{\text{N}}\boldsymbol{\varSigma }_{\text{N}}\boldsymbol{I} \\ &=\sigma ^2\boldsymbol{U}_\text{N} \end{split} \end{equation}\tag{8} \\$

由式(7)和(8)可得

$\boldsymbol{A}\left( \theta \right) \boldsymbol{R}_s\boldsymbol{A}^{\text{H}}\left( \theta \right)\boldsymbol{U}_{\text{N}}=0\tag{9} \\$

易知导向矢量可逆，信源不相干时 Rs 也是可逆的，所以有

$\boldsymbol{A}^{\text{H}}\left( \theta \right)\boldsymbol{U}_{\text{N}}=0\tag{10} \\$

所以，导向矢量与噪声子空间正交。

PS：可以从式(10)前面的条件看出，必须得是信源不相干时 Rs 才可逆，才能导出MUSIC算法的核心，导向矢量与噪声子空间正交。然而信源相干时，Rs 就不可逆了，MUSIC算法会失效。那就需要通过平滑的方法对 R 处理后再求噪声子空间了。

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